запропоновано метод адаптивної синхронізації нелінійних систем Лур'є з пассіфіціруемой лінійної частиною через канал зв'язку з обмеженою пропускною спроможністю і кодером першого порядку. Показано застосування методу для адаптивної синхронізації хаотичних систем Чуа. Отримано чисельні характеристики процесу синхронізації при різній швидкості передачі інформації по каналу. Продемонстровано можливість використання запропонованого методу для передачі інформації модуляцією хаотичного сигналу.

Анотація наукової статті з електротехніки, електронної техніки, інформаційних технологій, автор наукової роботи - Андрієвський Борис Ростиславович, Фрадков Олександр Львович


Adaptive synchronization method for a class of nonlinear Lur'e systems having paccifiable linear part under the limited-band communication channel and a first-order coder is proposed. An application of the proposed method by the example of adaptive synchronization of chaotic Chua systems is presented. Quantitative measures of synchronization process for different data rates of the channel are obtained. Availability of the proposed method for information transmission based on chaotic signal modulation is demonstrated.


Область наук:
  • Електротехніка, електронна техніка, інформаційні технології
  • Рік видавництва: 2009
    Журнал: Управління великими системами: збірник праць
    Наукова стаття на тему 'Адаптивна синхронізація нелінійних систем одного класу при обмежену пропускну здатність каналу зв'язку'

    Текст наукової роботи на тему «Адаптивна синхронізація нелінійних систем одного класу при обмежену пропускну здатність каналу зв'язку»

    ?УДК 62.50 ББКЖ30

    АДАПТИВНА СИНХРОНІЗАЦІЯ нелінійних СИСТЕМ ОДНОГО КЛАСУ ПРИ ОБМЕЖЕНОЮ ПРОПУСКНОЇ СПРОМОЖНОСТІ КАНАЛУ ЗВ'ЯЗКУ 1

    Андрієвський Б. Р. 2 Фрадков А. Л. 3

    (Установа Російської академії наук Інститут проблем машинознавства Російської академії наук, Санкт-Петербург)

    Запропоновано метод адаптивної синхронізації нелінійних систем Лур'є з пассіфіціруемой лінійної частиною через канал зв'язку з обмеженою пропускною спроможністю і кодером першого порядку. Показано застосування методу для адаптивної синхронізації хаотичних систем Чуа. Отримано чисельні характеристики процесу синхронізації при різній швидкості передачі інформації по каналу. Продемонстровано можливість використання запропонованого методу для передачі інформації модуляцією хаотичного сигналу.

    Ключові слова: адаптивна синхронізація, нелінійні системи, канал зв'язку, інформаційні обмеження.

    1 Робота виконана за фінансової підтримки РФФД (гранти №№06-08-01386, 08-01-00775) та Ради по грантам Президента РФ для підтримки молодих вчених і провідних наукових шкіл, проект НШ-2387.2008.1. Автори вдячні проф. Робіну Дж. Евансу (Robin J. Evans) з Університету Мельбурна за ряд пропозицій по темі роботи і корисне обговорення результатів.

    2 Андрієвський Борис Ростиславович, доктор технічних наук, провідний науковий співробітник, (Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.).

    3 Фрадков Олександр Львович, доктор технічних наук, завідувач лабораторією, (Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.).

    Вступ

    Останнім часом серед фахівців в області систем управління спостерігається зростаючий інтерес до завдань оцінювання і управління, в яких істотні обмеження на інформаційні потоки між окремими елементами системи (т. Е. Обмеження, викликані кінцевої пропускною спроможністю каналів зв'язку в системі). Подібні завдання виникають у багатьох технічних додатках, таких як навігаційні системи, розподілені сенсорні мережі, системи дистанційного спостереження, і інших. Поруч дослідних груп проводиться інтенсивне вивчення граничних можливостей вирішення завдань управління при наявності зазначених обмежень, див., Наприклад, роботи [26, 30-32]. Завдання управління з обмеженнями інформаційних потоків розглядається як в детерміністській [28], так і в стохастичною [29] постановках. Обмеженість швидкості передачі даних з використанням кодеров (Квантователь) сигналу і його передачі по дискретному каналу зв'язку, що входить до складу замкнутого контуру, призводить до розгляду системи як гібридної, що ускладнює дослідження протікають в ній процесів [24,32].

    У більшості робіт розглядаються завдання управління і оцінювання стану для лінійних стаціонарних систем, і лише в небагатьох статтях [25,27] розглядаються нелінійні системи. В роботі [27] пропонується загальний і плідний підхід до дослідження подібних систем, заснований на понятті топологічної ентропії при зворотного зв'язку (ТЕОС) (Topological Feedback Entropy). У зазначеній роботі отримані умови, при виконанні яких для замкнутої дискретної системи, що містить інформаційний канал з обмеженою пропускною спроможністю в зворотного зв'язку, забезпечується інваріантність заданого компактного безлічі в просторі станів. Показано, що нижня межа пропускної здатності каналу зв'язку, при якій можливе вирішення завдання, збігається з ТЕОС

    49

    розімкнутої системи (об'єкта управління).

    Відомі в даний час результати досить повно охоплюють завдання стабілізації систем щодо заданого стану рівноваги. Однак для інших важливих завдань вирішення подібних питань ще не отримано. Наприклад, для задач спостереження за заданою дією, в яких бажане стан об'єкта змінюється в часі, точної нижньої межі для швидкості передачі інформації, при якій можливо прагнення до нулю помилки стеження, поки не знайдено. Крім того, відомі публікації зазвичай спираються на використання досить громіздких процедур кодування-декодування в каналі зв'язку. Тому є важливим при знаходженні точних теоретичних меж допустимої пропускної здатності каналу зв'язку враховувати можливості практичної реалізації оптимальних процедур кодування-декодування.

    У ряді технічних програм (наприклад, в розподілених сенсорних мережах або в системах дистанційного спостереження) часто відсутня можливість встановити вдосконалений датчик, що включає пристрій оцінювання стану об'єкта, на стороні передавача (наприклад, на стороні об'єкта, за яким здійснюється спостереження), і тільки значення деякого вихідного процесу доступні вимірюванню і передачі по каналу зв'язку для подальшої обробки. У даній роботі розглядається подібна ситуація і досліджуються можливості і обмеження, які виникають в ній при вирішенні задачі оцінювання стану, якщо використовується кодує пристрій з глибиною пам'яті, що дорівнює одиниці. Вибір кодеров цього класу дозволив виконати як аналітичне дослідження, так і чисельний аналіз.

    Рішення завдання стає істотно більш складним для нелінійних систем, при неповноті вимірювань стану, а також в умовах параметричної невизначеності моделі об'єкта (моделі джерела сигналу). Зокрема, для 50

    таких завдань, як часткова стабілізація, або стабілізація різноманіть майже нічого невідомо щодо граничних можливостей по оцінюванню стану і управління при обмежену пропускну здатність каналу зв'язку. Подібні проблеми виникають в задачах стабілізації граничних циклів і хаотичних атракторів [23], які мають велике значення для управління коливальними режимами в технічних системах. До подібних завдань відносяться завдання управління і оцінювання стану хаотичних систем [3, 19], для яких характерна локальна нестійкість всіх траєкторій. Однак аналітичні оцінки процесів в хаотичних системах отримані до теперішнього часу тільки для деяких випадків і без урахування інформаційних обмежень, див., Наприклад, [10,11,20]. Розвиток цих результатів вимагає залучення витонченої математичної техніки. Додаткові аналітичні складності виникають при наявності параметричної невизначеності, що змушує іноді вдаватися до методів адаптивного управління, реалізація яких призводить до ускладнення моделі системи в цілому. Нарешті, слід врахувати гібридний (безперервно-дискретний) характер замкнутої системи, в складі якої є кодує-декодер пристрої з цифровим каналом передачі даних.

    У даній роботі досліджується адаптивна синхронізація хаотичних систем при наявності обмежень на швидкість передачі інформації в каналі зв'язку в припущенні, що ряд параметрів генератора сигналу ( «провідною системи») невідомий, і тільки вихід (а не стан) генератора вимірюється. Для систем без урахування інформаційних обмежень дана задача вирішувалася в роботах [12,22] шляхом застосування адаптивних спостерігачів стану. Показана також можливість застосування такого методу синхронізації для передачі повідомлень модулюванням хаотичного сигналу. На основі публікацій [12, 21, 22] і недавно отриманих результатів по неадаптівной синхронізації хаотичних систем на основі

    51

    спостерігачів при інформаційних обмеженнях [8, 17, 18] в даній роботі знаходяться аналітичні оцінки характеристик замкнутої системи, а також наведені результати чисельного дослідження синхронізації хаотичних систем Чуа з урахуванням обмежену пропускну здатність каналу зв'язку.

    1. Постановка завдання і опис методу синхронізації

    Розглянемо нелінійну систему з невизначеними параметрами ( «генератор», або «провідна система»), описану наступними рівняннями стану

    т

    (1) Х = Ах + ^>про (у) + В ^ вг ^>г (у), у = Сх,

    г = 1

    де х € Мга - вектор стану генератора; у € М1 - вектор виходів (переданих через канал зв'язку); в = [91, ..., вт] Т вектор параметрів генератора. Вид нелінійних залежностей <Рг (-) (2 = 0,1, ..., т), значення матриць А, С і вектора В вважаються відомими. Також вважаємо, що лише значення вихідного сигнал у (Ь) (а не всього вектора стану) можуть бути виміряні датчиками. Вважаємо, що початковий стан генератора хо = х (0) також апріорно невідомо на стороні приймача (відомою системи). Зауважимо, що для систем зв'язку з модулюванням хаотичного сигналу вектор невідомих параметрів 9 змінюється в часі, і сигнал 9 = в (Ь) є переданим повідомленням, яке повинно бути відновлено приймачем. Далі передбачається, що вектор в (b) змінюється досить повільно в порівнянні з іншими процесами в системі, тому 9 вважається невідомим постійним вектором параметрів провідної системи.

    Для досягнення синхронізації між провідною і відомою системами використовуємо метод побудови адаптивних спостерігачів, викладений в [1,2,4,9,21,22], на основі якого отримана наступна структура системи синхронізації [18]. 52

    Адаптивний спостерігач складається з настроюється спостерігача і блоку адаптації (адаптора). Настроюється спостерігач описується рівняннями

    т

    (2) х = Ах + Му) + - у), У = Сх,

    г = 1

    де х € Мп - вектор стану спостерігача; у? М1 вектор вихідних змінних; ВГ, г = 1, 2, ..., т - скалярні настроюються параметри спостерігача. Налаштування параметрів проводиться адаптором, для синтезу якого використовується метод швидкісного градієнта [7]. Алгоритм адаптації має вигляд

    (3) ВГ = -7г (у - у) ^ г (у), г = 1,2, ..., т,

    де коефіцієнти тг > 0 - параметри алгоритму адаптації.

    Алгоритм адаптивного спостерігача (2), (3) відрізняється від запропонованого в роботі [22] тим, що в ньому відсутня адаптивна настройка зворотного зв'язку помилково (у - у), замість якої в (2) вводиться лінійна стаціонарна коригуюча зв'язок Ь (у - у), що дозволяє зменшити число параметрів, що настроюються адаптивного спостерігача (2), (3) в порівнянні з розглянутим в [22].

    У присутності помилок каналу зв'язку між провідною і відомою системами (в які можуть також входити помилки вимірювань, спотворення в каналі зв'язку і помилки кодування, викликані кінцевої пропускною спроможністю каналу зв'язку), вимірюваний вихід у (г) спотворюється, що можна уявити як зміна входу спостерігача у вигляді

    (4) у (г) = у (г) + 5у (г),

    де через 5У (г) позначено загальне спотворення сигналу вимірювань в адитивної формі. У цьому випадку пропонується використовувати регуляризоване версію адаптивного спостерігача, яка

    53

    описується рівняннями

    (5) Х = АХ + ^ о (у) + В ^ 9г ^ г (у) + Ь (у-у), у = СХ,

    г = 1

    (6) 9г = -т? (У-у) ^ г (у) -агвг, г = 1,2, ..., т,

    де аг - коефіцієнти регуляризації.

    У даній роботі під синхронізацією розуміється збіжність траєкторій х (?) І Х (?), При якій досить мала помилка синхронізації е (?) = Х (?) - Х (?). Внаслідок помилок в каналі зв'язку, прагнення вектора е (?) До нуля не може бути забезпечено, і мета синхронізації має сенс представити у вигляді

    (7) Я < Ах,

    де Ах - задана верхня межа асимптотичного значення помилки, а величина

    (8) Я = 11ш || х (?) - Х (*) П,

    Т->оо

    є граничною помилкою синхронізації.

    Зауваження 1. Хоча мета синхронізації (7) може бути формально ототожнена з метою стабілізації невязки е (?) = Х (?) - Х (?) Із заданою точністю Ах, є ряд істотних відмінностей між завданнями стабілізації, стеження і синхронізації, що змушує віднести ці завдання до різних класів [5, 13]. На відміну від завдань стабілізації, метою яких є приведення всіх змінних стану в околицю заданої точки (зазвичай - початку координат) і загасання процесів в системі, при досягненні синхронізації процеси в провідною і відомою системах тривають, але протікають синхронно. Говорячи математичною мовою, тут забезпечується рух в околиці різноманіття е = 0. У свою чергу, в задачах спостереження задає (командне) 54

    вплив є, як правило, зовнішнім довільним процесом, який підпорядковується певним обмеженням (по амплітуді, швидкості зміни, частотного діапазону і т. д.). У завданнях синхронізації «задає» вплив y (t) не довільно, а генерується провідною системою, динаміка якої в певному сенсі близька до динаміки відомою системи.

    У даній статті розглядається задача визначення меж параметрів системи і швидкості передачі інформації по каналу зв'язку, при яких забезпечується межа (7) на якість процесу синхронізації. Питання про принципової можливості розв'язання задачі (7) для системи (1), (5), (6) досліджений в [18] в припущенні про рівномірної обмеженості помилки? Y (t) (див. (4)):

    (9) py (t) || < А для всіх t ^ 0.

    де А - деяка відома константа.

    Далі для простоти опису вважаємо вихід скалярним, l = 1, Yi = Y > 0, ai = а > 0. Як показано в [18], якщо виконані наступні умови:

    A1. Матриця коефіцієнтів передачі спостерігача L така, що передавальна функція

    WL (\) = C (AI - A + LC) -lB строго пасивна, т. Е. Виконані нерівності

    Re Wl (iu) > 0 Vw ^ 0,

    (10) lim w2 Re WL (iu) > 0.

    A2. Система (1) має органиченно інваріантне безліч Qe З Rn при будь-якому в? Про З Rm, де в - безліч можливих значень невизначених параметрів і x (0)? Q.

    A3. Функції ^? (У), i = 0,1, ..., m обмежені і задовольняють умові Ліпшиця в замкнутій Д-околиці 0 $, т. Е. Нерівності

    (11) Иу) | <L ;, Иу ')-<^ (У) | <l;

    виконані при деяких L ;, L; і всіх у = Cx, ж е SA (0 $), де sa (0 $) = {ж: 3z е 0 $: \\ x - z \\ ^ Д},

    то існують такі Ci > 0, C2 > 0, що для всіх Д > 0 вибір параметрів алгоритму а = Д2, y = С2 / Д2 гарантує досяжність мети синхронізації (7) де

    (12) Дх = С1Д.

    Зауваження 2. Згідно з версією теореми про пассіфікаціі для спостерігачів [16], вектор L, що задовольняє умові A1, існує тоді, і тільки тоді, коли передавальна функція W (Л) = C (AI - A) -1 B є гіпермінімальнофазовой (ГМФ) , т. е. якщо многочлен A (A) det W (Л) (де A (A) = det (AI - A)) - Гурвіц (всі його коріння мають негативні речові частини), а матриця G = lim AW (Л ) симетрична і

    позитивно визначена. Для розглянутого тут випадку скалярного виходу, l = 1, передавальна функція W (Л) = C (AI - A) -1B скалярна і виражається відношенням багаточленів A (A), B (A): W (A) = B (A) / A (A). Тоді умова ГМФ означає, що чисельник B (A) - Гурвіц многочлен ступеня n - 1 з позитивним коефіцієнтом при старшого ступеня [6].

    Зауваження 3. Зауважимо, що з умови ГМФ слід виявленню пари (A, C). Дійсно, якщо пара (A, C) обнаруживаемая, то передавальна функція W (A) = B (A) / A (A) має збігаються нулі і полюси з позитивними речовими частинами, що суперечить вимозі гурвіцевості многочлена B (A). Спостережливості пари (A, C) не потрібно: при виконанні зазначених вище умов неспостережувані компоненти вектора помилки гранично обмежені і мета (7) виконується. 56

    2. Процедури кодування

    Розглянемо спочатку статичний кодер (кодер без пам'яті) з рівномірним дискретизацией на незмінному діапазоні значень.

    Задамо дійсне число М > 0 і невід'ємне ціле V € видання, відповідно до яких процедура кодування визначається як масштабується відображення рівномірного квантування за рівнем: ^ ^ ^ наступним чином.

    Введемо діапазон перетворення I = [М, М] довжиною 2М і крок квантування довжини 5 = 21- ^ М. Функцію кодування (квантування) д ", м (у) визначимо після цього як

    де (•) - функція округлення до найближчого цілого, sign () -сігнум-функція: signy = {1 при y ^ 01 - 1 при y < 0}. Очевидно, що | y - qv, M (y) | ^ 5/2 для всіх y таких, що | y | ^ M + 5/2 і все значення qv, M (y) належать діапазону перетворення I. Зауважимо, що інтервал I розбивається рівномірно на 2V частин. Отже, кількість елементів способу відображення qv, M одно to 2V + 1, отже, кожне кодове слово містить R = log2 (2v + 1) біт інформації.

    Отже, для розглянутого кодера відбувається дискретизація (квантування за рівнем) виходу джерела сигналу (в нашому випадку - генератора (1)) за формулою y = qv, M (y). Ми припускаємо, що як кодує, так і декодер пристрої працюють на основі однієї і тієї ж інформації, і, отже, сигнал y однозначно відновлюється декодером на основі отриманого кодового слова.

    У ряді статей, див., Наприклад [14, 24, 28, 30], описана досконаліша схема кодування. Що лежить в основі цієї схеми ідея полягає в зменшенні параметра M,

    (13)

    задає діапазон перетворення, з одночасним заміною симетричного інтервалу I на інтервал Уд + 1, який охоплює деяку область щодо передбаченого за попередніми вимірами значення виходу генератора уд + 1 на (до + 1) -му кроці спостережень, уд + 1 е Уд + ь Якщо довжина інтервалу Уд + 1 мала в порівнянні з повним діапазоном зміни виходу у, то можна зменшити величину М і, отже, зменшити крок квантування не збільшуючи при цьому кількість біт інформації, переданих по каналу зв'язку в одиницю часу. Для реалізації цієї ідеї використовуються кодують пристрої з пам'яттю. Наявність перехідних режимів в системі призводить до зміни параметра М в часі на кожному такті (кроці) до передачі даних, М = Мд, що відповідає зміні масштабу зображення в оптичних системах. Такий підхід дозволяє підвищити точність кодування даних в сталому режимі, в той же час запобігаючи насичення кодує пристрої на початку процесу. Послідовність {МД} може бути розрахована заздалегідь і вводитися програмно (так зване «зміна масштабу, кероване часом»), або МД можуть обчислюватися рекуррентно на основі поточних вимірювань ( «зміна масштабу, кероване подіями») [24].

    У даній роботі використовується найпростіший кодер такого типу, з глибиною пам'яті, що дорівнює одиниці, і програмним зміною масштабу квантування. Розглянемо докладніше відповідну процедуру кодування.

    Кодування і передача даних через канал зв'язку відбувається в дискретні моменти часу? Д = кТ0, де к = 0,1,2, ... - номер кроку, Т0 - обраний інтервал квантування за часом (інтервал вибірки). Вихідний сигнал у ^) генератора (провідною системи) вимірюється чутливим елементом і за формулою уд = у (кТ0) перетворюється в дискретну послідовність {уд}. Введемо послідовність значень зсуву сд (к = 0,1,2, ...), що мають нульове початкове значення, С0 = 0. На к-му кроці роботи кодер порівнює поточне 58

    значення ук зі зміщенням Ск, виробленим на попередньому кроці і отримує сигнал неузгодженості дук = у до - Ск. Цей сигнал потім піддається квантованию за рівнем із заданою розрядністю V і поточним значенням М = Мк відповідно до

    (13). Вихідний сигнал кодера

    (14) дук = д ", ик (дук)

    передається через канал зв'язку у вигляді символу, що містить К біт інформації з обраного алфавіту 4. Далі, зміщення ек + 1 і параметр масштабу Мк перераховуються на основі наявних вихідних даних і моделі джерела (генератора) сигналу у (?). Припускаючи, що вихід генератора у змінюється мало на проміжку квантування за часом Те, т. Е. Що ук + 1 ~ ук, і використовуючи тимчасову зміну масштабу, можна запропонувати наступні алгоритми перерахунку параметрів кодує пристрої:

    (15) Ск + 1 = Ск + дук, зі = 0, к = 0,1,...,

    (16) Мк = (Мо - М ^) рк + М

    де 0 < р ^ 1 - параметр загасання, М- асимптотично граничне значення Мк. Початкове значення Мо має бути досить великим, щоб охопити всю область початкових значень виходу у0 5 .

    Рівняння (13), (14), (16) описують алгоритм роботи кодує пристрої. аналогічні співвідношення

    4 Фактично передається не саме значення дук, а його нормована величина (5-1дук), яка за певних V і Мі очевидним чином перераховується на приймальному кінці в дуі.

    5 Ця вимога можна пом'якшити, якщо вихідний сигнал генератора обмежений по модулю. Тоді, при Мто > 0, навіть якщо Мі < \ Уі \, за кінцеве час відбувається «схоплювання» сигналу у (Ь) кодером. Слід правда врахувати, що при малих Мк тривалість перехідного режиму може виявитися неприпустимо великий.

    реалізуються декодером: а саме, в ньому обчислюються значення сд, Мд на основі поточного потоку кодових слів, відповідних переданим через канал зв'язку значень? у за формулами

    (17) сд + 1 = сд + <9уд, зі = 0, к = 0,1,...,

    (18) Mfc = (Mo - M ^) pfc +

    В результаті декодер формує на виході сигнал

    (19) yfc = cfc + <9yfc,

    який збігається з квантованим сигналом уд (як зазначено вище, ми тут враховуємо тільки обмежену пропускну здатність каналу зв'язку, нехтуючи можливими спотвореннями і втратою інформації в ньому). Далі значення уд «розширюється» екстраполятор нульового порядку на весь інтервал квантування за часом [kTo, (k + 1) To) і на виході декодирующего пристрою формується процес безперервного часу y (t), що є вхідним сигналом другий, відомою, підсистеми.

    3. Оптимізація кодера

    Встановимо тепер залежність між швидкістю передачі інформації по каналу зв'язку і гарантовано досяжною точністю роботи пари кодує - декодирующее пристрою в припущенні, що швидкість зміни сигналу y (t) рівномірно обмежена по модулю. Очевидно, точна оцінка Ly

    для швидкості y (t) знаходиться як Ly = sup | Cx |, де x виходить

    ЖЕП

    відповідно до (1). Щоб дослідити точність системи кодер

    - декодер, оцінимо верхню межу А = sup (t) | помилки

    t

    5y (t) = y (t) - y (t) передачі даних по каналу зв'язку. Розглянемо проміжок квантування [kTo, (k + 1) To). Очевидно, що при вибраній схемі кодування величина | 5y (kTo) | не перевищує 5/2. Крім того, помилка може зростати всередині зазначеного інтервалу з моменту kT0 до (k + 1) T0 внаслідок зміни y (t). Величина цієї зміни, виходячи з зробленого вище

    припущення, не перевищує sup | y (t) - y (kT0) | ^

    kTo<t<(K + 1) To

    (K + 1) To (k + 1) To

    f | y (r) | dr ^ f Ly dr = LyT0. Таким чином, на

    kTo kTo

    кожному інтервалі [kTo, (k + 1) T0] сумарна помилка передачі даних задовольняє нерівності:

    г

    (20) | 5y (t) | < 2+ Ly To

    Нерівність (20) показує, що для того, щоб отримати задану точність А передачі даних, т. Е. Щоб забезпечити виконання нерівності \ 5у (Ь) \ ^ А для всіх Ь, потрібно, щоб інтервал квантування Те задовольняв умові

    (21) To < A.

    Ly

    Далі, якщо умова (21) виконано, то задані межі помилки кодування гарантуються при правильно обраному кроці квантування за рівнем 5, а саме - при дотриманні умови 5 < 2А - 2ЬуТо. Звідси ми отримуємо нижню межу для швидкості передачі інформації в бітах в секунду 6:

    6 Нагадаємо, що швидкість передачі інформації пов'язана з діапазоном кодування і інтервалом квантування співвідношенням

    К = !<*, (+ 1).

    значення До повинно задовольняти нерівності

    (22) К * I д-Ьь +1

    Таким чином, кодер, який має величину діапазону кодування, рівну 2М, крок квантування за рівнем 5 і тривалість інтервалу дискретизації по часу Те, забезпечує загальну помилку, обмежену по модулю заданою величиною Д, якщо виконано нерівність (21) і швидкість передачі інформації задовольняє умові ( 22). З нерівностей (21), (22) випливає також, що при досить малому Т 0 і досить великий До можна досягти довільно малої заданої межі помилки Д.

    Оптимізуємо тепер параметри кодера з тим щоб отримати найменшу можливу для заданої пропускної спроможності До каналу зв'язку кордон помилки Д або щоб при заданій Д мінімізувати потрібне значення К. Як випливає з (22), зменшення діапазону кодування 2М призводить до зниження кількості біт переданої за одиницю часу інформації До і, отже, потрібної пропускної здатності каналу зв'язку К *. З іншого боку, щоб запобігти насичення кодує пристрої, величина М

    не повинна бути менше ніж вир | 5У (кТ0) | - 5/2 = Д - 5/2. 7

    де'

    Беручи до уваги, що 5 = 21- ^ М, отримаємо наступну формулу для найменшого допустимого М:

    (23) М = Д.

    v; 2 ^ + 1

    Зауваження 4. У початковій стадії роботи системи величина помилки | 5; | може перевершувати кордон Д через те, що

    7 Див. Посилання 5 на стор. 59.

    62

    початкове значення у (0) невідомо. Це призводить до появи перехідних режимів в поведінці системи. На цій стадії може бути ефективно використана описана вище процедура зміни масштабу, що приводить до наступного рецептом вибору параметрів закону (16):

    2V А

    (24) Mo = My, M ^ =

    2V + 1 'де My = sup | y (t) |.

    жобП

    Оптимізуємо тепер кодер по інтервалу вибірки To. Розглянемо сталий режим, в якому на кожному проміжку t G [kTo, (k + 1) To) вважаємо виконаним нерівність | y (t) - Ck | ^ А. Нехай M знаходиться зі співвідношення

    (23). Введемо величину е за формулою е = y 0 (очевидно, що 0 < е < 1), і запишемо нижню межу R * для R у вигляді

    2V

    (25) R '= (2v + 1) (1 - е) +1

    Ввівши величину швидкості передачі інформації в бітах в секунду Я

    як Я = - і її нижню допустиму по точності кордон Я *,

    Т0

    з виразу (25) отримаємо, що

    Т (2V

    (26) R * = -У logo 7-ГТ-г + 1

    v 'ЕА &2 \ (2V + 1) (1 - е)

    Тепер завдання оптимізації кодера зводиться до наступної задачі мінімізації: визначити пару (е *, ^ *) з умови

    63

    (E *, v *) = arg min R (e, v). Так як права частина (26)

    ?€ (0,1) vez

    строго зростає по v, то оптимальним значенням v буде мінімально можливе, а саме v * = 0. Це означає, що двійкове кодування дає оптимальну (мінімальну) швидкість передачі даних R * = 1 біт на крок, звідки випливає, що M * =? / 2 є оптимальним значенням M (зауважимо, що зараз розглядається сталий режим), і що знакова функція є оптимальною функцією перетворення кодера:

    (27) y =? sign y.

    Для оптимального значення v виконано співвідношення R *

    r (e), де

    (28) r (e) = r 'Ц 2 (гь) + 1

    Введемо величину г * = ^^ г (е). Неважко показати, що

    цей мінімум, задовольняє трансцендентному рівнянню

    ^ Г (е)

    de

    0, існує. Вирішуючи задачу одновимірної мінімізації

    чисельно, отримаємо г * = г (е *) ^ 1,688, де е * ^ 0,5923.

    Таким чином, оптимальний інтервал квантування за часом Т0 * визначається виразом

    (29) T * = e * .

    Так як для бінарного кодує пристрої швидкість передачі інформації по каналу зв'язку в бітах в секунду

    знаходиться з виразу Я * = -, то, з урахуванням (29), найменша

    Т0

    швидкість передачі інформації буде (30) Я * = г * ^,

    і ця межа є необхідною для кодерів розглянутого класу.

    Зауваження про інших класах кодеров. Граничні значення помилки синхронізації для більш складних схем кодування будуть відрізнятися від отриманих; може бути використаний кодер першого порядку з лінійної екстраполяцією сигналу або кодер п-го порядку з прогнозуючої моделлю генератора.

    Як варіант використання вдосконалених кодеров можна розглянути ситуацію, при якій допускається використання на стороні передавача спостерігача стану повного порядку, а також є можливість передавати повідомлення паралельно з п каналах або по одному каналу в режимі поділу часу. Тоді через канал зв'язку може бути переданий п-мірний вектор оцінок стану генератора х (хто), який використовується кодований-декодувальним пристроями для формування прогнозу х ((до + 1) Т0). Цей прогноз, в свою чергу, служить для обчислення вк + \ = Сх ((до + 1) Т0). В такому випадку помилка передбачення бінарного кодера визначається швидкістю розбіжність прилеглих траєкторій генератора. Тоді замість співвідношення (20) випливає

    використовувати нерівність - ехр (НТ0) < А, де Н > 0 -

    найбільша ляпуновском експонента хаотичного генератора.

    65

    ™ 1п (2 || З II

    Це співвідношення призводить до нерівності Те < ---, яке

    п

    слід використовувати в такому випадку замість кордону (21). Для швидкості передачі повідомлення тоді отримуємо замість нижньої

    Ь п

    кордони Е * > -у нерівність Е * > ^, Що випливає з

    А т (2 || З У)

    п

    (21). Це означає, що при виконанні умови Е * > ^ ,

    т (2 || Су)

    верхня межа для помилки передачі даних А зменшується на

    п

    кожному інтервалі квантування [кТ0, (до + 1) Т0) в, ,, раз

    Е * т (2 || Су)

    і, отже, експоненціально прагне до нуля.

    4. Приклад. Адаптивна синхронізація систем Чуа

    У цьому параграфі наводяться результати чисельного дослідження запропонованого методу синхронізації при обмежену пропускну здатність каналу зв'язку на прикладі адаптивної синхронізації хаотичних систем Чуа.

    Розглядається задача синхронізації, в якій як провідна система (генератор), так і ведена (приймач) реалізовані у вигляді систем Чуа [1,3,15,22].

    Рівняння провідною системи. Провідна система описується наступними рівняннями:

    'Ж 1 = р (Ж2 + Ж1 + / (Ж1) + 0/1 (Ж1)), (31) {Ж2 = Ж1 - Ж2 + ЖЗ

    ?з = -? Ж2,

    у (?) = Ж1 (?),

    де y (t) - вихідний сигнал, вимірюваний чутливим елементом; x = [x \, x2, x3] T G R3 - вектор стану генератора; f (•), / i (0 - кусочно-лінійні функції: f (z) = m0z + 0,5 (mi - mo) fi (z), f1 (z) = | z + 1 | - | z - 1 |; p, q, m1, m0 - відомі (на стороні приймача) параметри генератора. Початковий стан x0 = x (0) і параметр в передбачаються апріорно невідомими.

    Рівняння відомою системи. Алгоритм адаптації. Грунтуючись на результатах розділу 1, побудуємо провідну систему у вигляді адаптивного спостерігача стану. Тоді рівняння цієї системи виходять у вигляді

    Г x 1 = p (x2 + xi + f (y (t)) + e (t) fi (y (t)) + he (t),

    (32) < x2 = xi - x2 + x3 + l2? (t), [x з = -qx2 + 1З e (t),

    y (t) = xi (t), e (t) = y (t) - y (t),

    де x = [xi, x2, x3] T G R3 - вектор стану відомою системи. Вхідним сигналом для цієї системи є y (t) - вихід генератора сигналу, переданий через канал зв'язку. Коефіцієнти li, l2, l3 є параметрами алгоритму, які утворюють (3 х 1) - матрицю зворотного зв'язку спостерігача L = [li, l2, l3] T; e (t) - настроюється параметр, який змінюється за алгоритмом адаптації, наведеним нижче.

    Зауважимо, що при «ідеальному» каналі зв'язку, що має з необмежену пропускну здатність, вхід відомою системи збігається з виходом генератора: y (t) = y (t). У нашому випадку сигнал y відрізняється від y (t) через обмеження на швидкість передачі інформації.

    Алгоритм адаптації (6) в даному випадку приймає вид

    (33) в = y (y (t) - y (t)) fi (y (t)) + а (по - e (t)),

    де y, а - параметри алгоритму; в0 - деяка апріорна оцінка невідомого параметра в. Вважаємо, що у відрізняється

    67

    від істинного значення в на деяку (невідому) величину Ав = в - в0. Ця помилка має усуватися в процесі роботи алгоритму адаптації. При реалізації алгоритму (33) природно взяти під в якості початкового значення в.

    Очевидно, що система (32) має форму Лур'є, в якій

    (34) АЬ

    Р -? 1 Р 0 1 -? 2 -11 -1з 9 0

    В =

    З = [1 0 0] .

    Матриця коефіцієнтів передачі спостерігача Ь повинна бути обрана так, щоб забезпечити пасивність динамічної системи Ж = А ^ ж + Ві, у = Сж з матрицями А ^ = А - ЬС, В, С виду (34). Для перевірки якості пасивності, можна використовувати техніку лінійних матричних нерівностей (ЛМН). Чисельно також можна дослідити поведінку кривої Найквиста - годографа частотної передавальної функції = С

    А ^) - 1В. Для даної системи, з матрицями А ^, В, С виду (34), передавальна функція ^ ь (А) має вигляд:

    <35> ^ (А) = ^ А ^,

    де АЬ (А) = А3 + (1 + р +? 1) А2 + (9 + РЬ +? 1>А + Р 9 +? Зр +? 19.

    Для обчислення матриці Ь, використовуємо метод розташування полюсів (метод модального управління), що забезпечує збіг характеристичного многочлена А ^ (А) системи (35) з заданим А3 + ^ 1А2 + ^ 2А + ^ 3, який має бажаний набір коефіцієнтів Очевидно,

    що внаслідок спостережливості пари (А, С) відповідна матриця Ь завжди знайдеться, але при цьому параметри повинні також забезпечувати властивість пасивності системи (35). 68

    5. Результати моделювання

    Розглянемо генератор Чуа (31), який має такі параметри: p = 10,0, q = 15,6, m0 = 0,33, mi = 0,22.

    Для синтезу адаптивного спостерігача (відомою системи) (32), використовуємо розподіл Баттерворта (Butterworth) полюсів лінійної частини (35). Для системи третього порядку цей розподіл дає характеристичний многочлен виду AL (s) = s3 + 2ш0з2 + + w0, в якому параметр ш0 > 0 задає бажане швидкодію спостерігача (32). При виборі U0 також слід врахувати вимогу суворої пасивності передавальної функції Wl (A). Чисельні обчислення кривої Найквиста по передавальної функції Wl (A) при різних значеннях ш0 показують, що Wl (A) пасивна при 3,6 < ш0 < 9,6. Для моделювання взято значення параметра ш0 =

    6, при якому виходять такі власні числа Ai спостерігача (32): Ai = -6,0, A2,3 = -3,0 ± 5,2j, і матриця L зворотного зв'язку рівна L = [1,00, 5,54 , 4,44] T.

    Моделювання проводилося при наступних початкових умовах для стану систем (31) і (32): x0 = [0,3, 0,3, 0,3] T і x0 = [0, 0, 0] T, відповідно, і для двох значень параметра в системи (31): в = 0,8 і в = 1,0. Параметр в0 в алгоритмі адаптації (33) взято рівним в0 = 0,9. Коефіцієнти a, y алгоритму адаптації (33) прийняті рівними a = 0,02, y = 0,2.

    При моделюванні отримані характеристики процесу адаптивної синхронізації через дискретний канал зв'язку з двійковим кодером (27) (в (13), (14), (16) розрядність v = 0). Значення Ly - найбільшої по модулю величини швидкості y (t) -Взяти рівним Ly = 30 с- на основі попереднього аналізу хаотичного аттрактора системи Чуа (31). Моделювання виконано для різних значень допустимої А помилки передачі сигналу y (t) по каналу зв'язку. Значення M0 в (24) взято M0 = 4 на основі вивчення поведінки генератора сигналу. Інтервал квантування за часом T0 визначався при заданому Ly в залежності від А зі співвідношення (29). Швидкість передачі

    69

    Про

    в = 0.8

    в =]. 0

    Про 100 200 300 400 _ 500

    , біт / с

    Мал. 1. Залежності помилки синхронізації Я від швидкості передачі інформації До при в = 0,8 і в = 1,0.

    інформації по каналу зв'язку До в бітах в секунду (в бодах) обчислювалася через Т0 як К = Т0-1. Параметр р зміни масштабу кодера в рівнянні (16) обраний залежать від Т0: р = ехр (-0,1То), що відповідає часу встановлення перехідного процесу для Мд близько 30 з.

    Моделювання проводилося на інтервалі тривалістю 1500 с в програмному середовищі МАТЬАВ-81тіПпк методом Рунге-Кутта (4,5) -порядка (процедура оёе45) з автоматичним вибором кроку.

    Результати чисельного дослідження системи представлені на рис. 1-13. На рис. 1 показана залежність помилки синхронізації Я від швидкості передачі інформації До для значень в = 0,8 і в = 1,0. Як видно з графіків, помилка синхронізації швидко зростає, коли швидкість передачі даних До стає менше 100 бод. Залежно помилки синхронізації Я від помилки передачі інформації в каналі зв'язку 70

    А та відносної помилки Q / А від А наведені на рис. 2 і рис. 3.

    Про 0.8 ..... \

    : >1

    Про 1.0

    1

    Про 0.5 1 1.5 2 2.5

    Мал. 2. Залежності помилки синхронізації Q від помилки передачі інформації в каналі зв'язку А при в = 0,8 і в = 1,0.

    Для оцінки якості роботи адаптивної системи важлива також величина параметричної помилки. Для розглянутого класу систем це помилка ідентифікації невідомого параметра в адаптивним спостерігачем. Охарактеризуємо її в середньоквадратичному сенсі, т. Е. Введемо величину

    т

    Qe = (|| в - в (?) || 2 ??) 1/2, про

    де Т - обраний час спостереження за системою (час моделювання). На рис. 4 показані залежності відносної

    71

    0 / Д

    & = 0.8 I м V

    \

    | 0 = 1.0: \

    Про 0.5 1 1.5 2 2.5

    Мал. 3. Залежності відносної помилки Я / А від помилки передачі інформації в каналі зв'язку А при в = 0,8 і в = 1,0.

    параметричної помилки Я в / в від швидкості переданої по каналу зв'язку інформації. Прийнято Т = 1500 с. Як видно з рис. 4, для даної системи починаючи з значень Я ^ 200 помилка ідентифікації параметра в практично не змінюється. Це пов'язано з тим, що регуляризоване алгоритм адаптації (алгоритм (6) при а = 0) не забезпечує збіжність до нуля помилки ідентифікації || в-в (?) ||. Таким чином, з точки зору адаптивної ідентифікації є «розумні» обмеження на обсяг переданих по каналу зв'язку даних. Разом з тим, з графіків видно, що помилка ідентифікації для даного прикладу складає 3 ^ 5%, що є цілком прийнятним для багатьох технічних додатків.

    На рис. 5-7 показані типові графіки процесів у (?),

    12 10

    3 6

    4 2 0

    це,%

    ...

    д & = 0.8 /

    г -? 1

    /

    в 1.0

    100

    200

    300

    400 _ 500

    Р, біт / с

    Мал. 4. Залежності відносної параметричної помилки

    Яв / в від До.

    Мал. 5. Графіки процесів в системах (31) і (32), (33) при А = 2, К = 25 бод.

    Мал. 7. Графіки процесів в системах (31) і (32), (33) при А = 0,2, Я = 250 бод.

    Д = 2

    Мал. 8. Фазові траєкторії генератора (31) і відомої системи (32), г е [500, 510], в = 0,8, А = 2.

    Д = 1

    Д = 0.2

    X.

    6Г>-"|вх1-" " '

    |6 х.

    2

    5 .2

    Мал. 10. Фазові траєкторії генератора (31) і відомої системи (32), Ь е [500, 510], в = 0,8, А = 0,2.

    у (Ь), ж2 (Ь), ж2 (Ь) в системах (31) і (32), (33) при досить великих Ь (після закінчення процесу адаптивної ідентифікації параметра в). Прийнято значення параметра в = 0,8. Обрані значення А = 0,2; 1,0; 2,0, яким, згідно з (24), (29), відповідають М = 0,1; 0,5; 1,0, період дискретності Т0 = 0,004 с; 0,02 с; 0,04 с, число переданих біт в секунду Е = 250; 50; 25 бод. Відповідні фазові траєкторії в просторі станів генератора (31), поєднаному з простором станів відомою системи (32), показані на рис. 8-10.

    Процес адаптивної ідентифікації параметра у провідній системи при його зміні ілюструється рис. 11-13. При моделюванні параметр в = в (Ь) узятий в формі «прямокутної хвилі» з періодом 100 сі амплітудою, що дорівнює 0,1 щодо зміщення у = 0,9. Решта умов моделювання

    е, § д = 2

    1 по 15 1 1

    1.05 1

    0.05 0.9 0 Й5 0 8 0.75 Про 7

    1

    1 \ Л:

    , | 1

    Ш .............. | м м

    * 'И1

    В "

    1 !

    Е

    Про 50 100 150 200 250

    Мал. 11. Ідентифікація параметра 9 (1), А = 2, К = 25 бод.

    Мал. 12. Ідентифікація параметра 9 (1), А = 1, К = 50 бод.

    9, § д = 0.2

    1 по 15 1 1

    1.05 1

    0.95 0 9 0.85 0.8 0.75 Про 7

    (1 5П 100 150 200 25П

    Мал. 13. Ідентифікація параметра Q (t), А = 0,2, R = 250 бод.

    взяті колишніми. Як видно з отриманих графіків, час перехідного процесу (час ідентифікації) параметра в становить менше 10 c, т. Е. Процес адаптивної ідентифікації відбувається протягом декількох «характерних періодів» коливань хаотичного генератора (який можна оцінити з рис. 5). Зауважимо також, що при малій швидкості передачі інформації по каналу (R = 25 бод) можна тільки розпізнати, яке з двох значень параметра в? {0,8,1,0} реалізується, в той час як при R = 200 бод і вище точність ідентифікації виявляється досить високою.

    6. Висновок

    У даній роботі розглянута нова задача синхронізації хаотичних систем на основі адаптивних спостерігачів при обмежену пропускну здатність каналу зв'язку між провідною і відомою системами. Новизна викладених в роботі результатів у порівнянні з наявними публікаціями з управління при інформаційних обмеженнях випливає з 78

    того що:

    1. Розглядається задача синхронізації процесів, а не стабілізації.

    2. Граничним безліччю в просторі станів замкнутої системи є аттрактор, а не крапка.

    3. Досліджується глобальне, а не локальне поведінка системи.

    4. За допомогою з'єднання передається скалярний вихід об'єкта, а не весь вектор стану.

    5. Досліджується система з кодером з пам'яттю «одиниця» (а не з кодером повного порядку або кодером з нескінченної пам'яттю).

    6. Розглядається випадок нелінійної системи з параметричної невизначеністю.

    Для перерахованих вище завдань до теперішнього часу ніхто не почув результатів по визначенню необхідних меж для швидкості передачі інформації. Немає також підстав припускати можливості отримання нульової помилки синхронізації. Моделюванням виконано чисельне дослідження адаптивної синхронізації систем Чуа при параметричної невизначеності. Результати моделювання дозволяють отримати кількісні характеристики процесів в розглянутій гібридній системі.

    література

    1. АНДРІЄВСЬКИЙ Б. Р., ФРАДКОВ А. Л. Вибрані глави теорії автоматичного управління з прикладами на мові MATLAB. - СПб .: Наука, 1999. - 467 с.

    2. АНДРІЄВСЬКИЙ Б. Р. ФРАДКОВ А. Л. Елементи математичного моделювання в програмних середовищах MATLAB 5 і Scilab (навчальний посібник). - СПб .: Наука, 2001. - 286 с.

    3. АНДРІЄВСЬКИЙ Б. Р., ФРАДКОВ А. Л. Управління хаосом: Методи і додатки. Частина I: Методи // Автоматика і телемеханіка. - 2003. - Том 64, №5 - С. 345.

    4. АНДРІЄВСЬКИЙ Б. Р., ФРАДКОВ А. Л. Метод пассіфікаціі в задачах адаптивного управління, оцінювання та синхронізації // Автоматика і телемеханіка. - 2006. - №11 - С. 33-37.

    5. УПРАВЛІННЯ Мехатронні вібраційні УСТАНОВКАМИ / Б. Р. Андрієвський, І. І. Блехман, Ю.А. Борців і ін. / Под ред. І. І. Блехмана і А. Л. Фрадкова. - Санкт-Петербург: Наука, 2001. - 278 с.

    6. ФРАДКОВ А. Л. Синтез адаптивної системи стабілізації лінійного динамічного об'єкта // Автоматика і телемеханіка. - 1974. - Том 35, №12-С. 96-103.

    7. ФРАДКОВ А. Л. Схема швидкісного градієнта і її застосування в задачах адаптивного управління // Автоматика і телемеханіка. - 1979. - Том 9. - С. 90-101.

    8. ФРАДКОВ А. Л., АНДРІЄВСЬКИЙ Б. Р. Адаптивна синхронізація нелінійних систем // Изв. вузів. Приладобудування. - 2007. - Том 50, №10 - С. 17-23.

    9. ФРАДКОВ А. Л., АНДРІЄВСЬКИЙ Б. Р. Метод пассіфікаціі в задачах адаптивного управління, спостереження і синхронізації / Нелінійні системи. Частотні і матричні нерівності. Під ред. А. Х. Геліга, Г. А. Леонова, А. Л. Фрадкова. - М .: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - С. 52-499.

    10. хряща С. М. Оцінка часу управління хаотичних систем: Частина I // Автоматика і телемеханіка. - 2004. -Том 64, №10 - С. 1566-1579.

    11. хряща С. М. Оцінка часу управління хаотичних систем: Частина II // Автоматика і телемеханіка. - 2004. -Том 64, № 11-С. 1782-1792.

    12. ANDRIEVSKY B. Adaptive synchronization methods for signal transmission on chaotic carriers // Mathematics and Computers in Simulation. - 2002. - Vol. 58, №4-6. - P. 285-293.

    13. BLEKHMAN 1.1., FRADKOV A. L., TOMCHINA O.P., BOGDANOV D. E. Self-synchronization and controlled syn-

    chronization: General definition and example design // Mathematics and Computers in Simulation. - 2002. - Vol. 58, №4-6. - P. 367-384.

    14. BROCKETT R., LIBERZON D. Quantized feedback stabilization of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr .. -2000. - Vol.45. - P. 1279-1289.

    15. DEDIEU H., KENNEDY M., HASLER M. Chaos shift keying: modulation and demodulation of chaotic carrier using self-synchronized Chua's circuits // IEEE Trans. Circ. Syst. II: Analog, Digital Signal Proc. - 1993. -Vol.40, №10. - P. 634 642.

    16. EFIMOV D., FRADKOV A. L. Adaptive tuning to bifurcation for time-varying nonlinear systems // Automatica. - 2006. -Vol.42, №3. - P.417-425.

    17. FRADKOV A. L., ANDRIEVSKY B., EVANS R. J. Chaotic observer-based synchronization under information constraints // e-print ArXiv. - URL: www.arxiv.org. - 2005. -Vol. nlin.CD/0511010.

    18. FRADKOV A. L., ANDRIEVSKY B., EVANS R. J. Adaptive observer-based synchronization of chaotic systems with firstorder coder in presence of information constraints // IEEE Trans. Circuits Syst. I. - 2008. - Vol. 55, №6. - P. 1685-1694.

    19. FRADKOV A. L., EVANS R. J. Control of chaos: Methods, applications in engineering // Annual Reviews in Control. -2005. - Vol. 29, №1. - P. 33-56.

    20. FRADKOV A. L., KHRYASCHEV S. M. How much control needs control of chaos / Proc. 5th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference (ENOC 2005). - 2005. - P. 1295-1302.

    21. FRADKOV A., MARKOV A. Adaptive synchronization of chaotic systems based on speed gradient method, passification // IEEE Trans. Circ. Syst, Part I. - 1997. - Vol. 10. - P. 905 912.

    22. FRADKOV A., NIJMEIJER H., MARKOV A. Adaptive observer-based synchronization for communication // Int. J. Bifurcations Chaos. - 2000. - Vol. 10, №12. - P. 2807-2813.

    23. FRADKOV A., POGROMSKY A. Introduction to control of oscillations and chaos. - Singapore: World Scientific Publishers, 1998..

    24. LIBERZON D. Hybrid feedback stabilization of systems with quantized signals // Automatica. - 2003. - Vol. 39. - P. 15431554.

    25. LIBERZON D., HESPANHA J. Stabilization of nonlinear systems with limited information feedback // IEEE Trans. Au-tom. Control. - 2005. - Vol. 50, №6. - P. 910-915.

    26. MATVEEV A., SAVKIN A. An analogue of Shannon information theory for networked control systems: State estimation via a noisy discrete channel / Proc. 43rd IEEE Conf. Dec. Control (CDC'04). IEEE Press, Piscataway, NJ. - 2004. -Vol. 4. - P. 4485-4490.

    27. NAIR G., EVANS R., MAREELS I., MORAN W. Topological feedback entropy, nonlinear stabilization // IEEE Trans. Autom. Control. - 2004. - Vol. 49, №9. - P. 1585-1597.

    28. NAIR G., EVANS R. Exponential stabilisability of finite-dimensional linear systems with limited data rates // Automatica. - 2003. - Vol. 39. - P. 585-593.

    29. NAIR G., EVANS R. Stabilizability of stochastic linear systems with finite feedback data rates // SIAM J. Control Optim .. - 2004. - Vol.43, №2. - P.413-436.

    30. TATIKONDA S., MITTER S. Control under communication constraints // IEEE Trans. Automat. Contr .. - 2004. - Vol. 49, №7. - P. 1056-1068.

    31. WONG W., BROCKETT R. Systems with finite communication bandwidth constraints - Part I: State estimation problems // IEEE Trans. Automat. Control. - 1997. - Vol.42, №9. - P. 1294-1299.

    32. WONG W., BROCKETT R. Systems with finite communication bandwidth constraints - Part II: Stabilization with limited information feedback // IEEE Trans. Automat. Control. - 1999. - Vol.44, №5. - P. 1049-1053.

    ADAPTIVE SYNCHRONIZATION FOR A CLASS OF NONLINEAR SYSTEMS UNDER DATA RATE LIMITATIONS OF THE COMMUNICATION CHANNEL

    Boris Andrievsky, Dr.Sc., Leading Research Fellow (Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.).

    Alexander L. Fradkov, Dr.Sc., Head of the Lab (Institute for Problems of Mechanical Engineering of RAS, Saint Petersburg, 61, V.O. Bolshoy Av., (812) 321-47-66, Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.)

    Abstract: Adaptive synchronization method for a class of nonlinear Lur 'e systems having paccifiable linear part under the limited-band communication channel and a first-order coder is proposed. An application of the proposed method by the example of adaptive synchronization of chaotic Chua systems is presented. Quantitative measures of synchronization process for different data rates of the channel are obtained. Availability of the proposed method for information transmission based on chaotic signal modulation is demonstrated.

    Keywords: adaptive synchronization, nonlinear systems, communication channel, information constraints.

    Стаття представлена ​​до публікації членом редакційної колегії П.С. Щербаковим.


    Ключові слова: АДАПТИВНА СИНХРОНІЗАЦІЯ / НЕЛІНІЙНІ СИСТЕМИ / КАНАЛ ЗВ'ЯЗКУ / ІНФОРМАЦІЙНІ ОБМЕЖЕННЯ / ADAPTIVE SYNCHRONIZATION / NONLINEAR SYSTEMS / COMMUNICATION CHANNEL / INFORMATION CONSTRAINTS

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити