Наведено огляд результатів дослідження абелевих груп як Артинова або нетеровим модулів над кільцями ендоморфізм. Описано абелеві групи A і B такі, що група гомоморфізмів Hom (A, B) є Артинова модулем над кільцем ендоморфізм групи B. Опис груп A і B, для яких група Hom (A, B) є Артинова модулем над кільцем ендоморфізм групи A, зведена до випадку, коли група A не має крутіння, а група B або квазіцікліческая група, або делимая група без крутіння. Охарактеризовані абелеві групи A і B, для яких група Hom (A, B) є Нетер модуль над кільцем E (A) або E (B). Дослідження довільної абельовой групи з нетеровим зліва кільцем ендоморфізм зведено до дослідження групи без кручення з нетеровим зліва кільцем ендоморфізм. Дослідження групи з нетеровим справа кільцем ендоморфізм залишилося незавершеним. Описано сепарабельном абелеві групи без кручення з нетеровим зліва чи справа кільцями ендоморфізм.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Крилов П. А., Подберезіна Е. І.


Abelian groups as Artinian or Noetherian modules above endomorphism rings. Part 1

The paper considers the results of Abelian groups 'investigation as Artinian or Noetherian modules above endomorphism rings. Abelian groups A and B are described showing that homorphism group Hom (A, B) is an Artinian module above the endomorphism ring of B group. The description of A and B groups for which group Hom (A, B) is an Artinian module above the endomorphism ring or A group concerns the case when group A does not experience any twisting, and group B is regarded either a quasi-cyclic group or a divisible group without twisting. Abelian groups A and B for which group Hom (A, B) is a Noetherian module above the ring E (A) or E (B) are characterized. The investigation of an optional Abelian group with the left Noetherian endomorphism ring deals with the investigation of groups without twisting with left Noetherian endomorphism ring. The investigation of right Noetherin ring remained incomplete. Separable Abelian groups without twisting with left or right Noetherian endomorphism rings are described.

Область наук:

  • Математика

 

Рік видавництва: 2006

Журнал: Известия Томського політехнічного університету. Інжиніринг ГЕОРЕСУРСИ

Наукова стаття на тему 'Абелеві групи як Артинова або нетерових модулі над кільцями ендоморфізм. Ч. 1 '

Текст наукової роботи на тему «Абелеві групи як Артинова або нетерових модулі над кільцями ендоморфізм. Ч. 1 »

 

?Природні науки

УДК 512.541

Абелевих груп ЯК Артинова АБО нетерових модуль над кільцем ендоморфізм. Ч. 1

П.А. Крилов *, Є.І. Подберезіна

* Томський державний університет

Томський політехнічний університет E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

Наведено огляд результатів дослідження абелевих груп як Артинова або нетеровим модулів над кільцями ендоморфізм. Описано абелеві групи A і B такі, що група гомоморфізмів Hom (A, B) є Артинова модулем над кільцем ендоморфізм групи B. Опис груп A і B, для яких група Hom (A, B) є Артинова модулем над кільцем ендоморфізм групи A, зведена до випадку, коли група A не має крутіння, а група B - або квазіцікліческая група, або делимая група без крутіння. Охарактеризовані абелеві групи A і B, для яких група Hom (A, B) є Нетер модуль над кільцем E (A) або E (B). Дослідження довільної абельовой групи з нетеровим зліва кільцем ендоморфізм зведено до дослідження групи без кручення з нетеровим зліва кільцем ендоморфізм. Дослідження групи з нетеровим справа кільцем ендоморфізм залишилося незавершеним. Описано сепарабельном абелеві групи без кручення з нетеровим зліва чи справа кільцями ендоморфізм.

В даний час швидко розвивається теорія абелевих груп і їх кілець ендоморфізм. Зростаючий інтерес до цього розділу алгебри зрозумілий: теорія абелевих груп тісно переплітається з теоріями модулів, кілець, множин, категорій, чисел і багато в чому є джерелом ідей для суміжних областей алгебри.

Кожній абельовой групі можна зіставити асоціативне кільце з одиницею Е (А) всіх її ендоморфізм. Це кільце несе певну інформацію про саму групу А. Основне завдання, що відноситься до кілець ендоморфізм, можна сформулювати так: знайти по можливості точні співвідношення між властивостями групи А і властивостями її кільця ендоморфізм.

Витоки теорії кілець ендоморфізм лежать в теорії лінійних перетворень векторних просторів. Важливу роль у становленні теорії кілець ендоморфізм зіграла книга Бера [1]. У монографії Фукса [2, 3] розглядаються кільця ендоморфізм. В роботі [4] висвітлені результати про кільцях ендоморфізм абелевих груп. Основи теорії кілець ендоморфізм абелевих груп закладені Бером, Капланський, Селі, Фуксом, Пірсом, Корнер, Річменом, Уокером. У книзі [5] детально представлені всі основні розділи теорії кілець ендоморфізм абелевих груп.

Кільця ендоморфізм абелевих груп широко вивчаються з різних точок зору. їх теорія

становить самостійний напрям, тісно пов'язане, звичайно, з самою теорією абелевих груп. Цей розділ сучасної алгебри можна розглядати з одного боку, як частина теорії абелевих груп, а з іншого - як гілка теорії кілець ендоморфізм модулів. Він примикає до обом теоріям, але має значну специфіку.

Вивчення кілець ендоморфізм абелевих груп приносить додаткові відомості про самих групах, вводить в дослідження нове коло понять і методів, допомагає виділити невідомі раніше класи груп і відшукати різні співвідношення між ними. Вивчення кілець ендоморфізм стимулює дослідження з теорії модулів і їх кілець ендоморфізм. Застосування кілець ендоморфізм корисно і в інших областях алгебри: адитивні групи кілець, Е-модулі і Е-кільця.

Двома найважливішими напрямками в теорії кілець ендоморфізм є розгляд груп як модулів над їх кільцями ендоморфізм і вивчення груп з кільцями ендоморфізм спеціального виду (останній напрям називається також «кільцеві властивості кілець ендоморфізм»). З досягненнями по цьому колу завдань можна познайомитися також з огляду [4].

На кожній абельовой групі А виходить структура лівого модуля над кільцем ендоморфізм Е (А) групи А, якщо покласти аа = а (а) для всіх АЕЕ (А) і для всіх АЄА. Багато задач призводять до

необхідності розгляду групи А як модуля над кільцем Е (А). Початок систематичного вивчення груп як модулів над їх кільцями ендоморфізм було покладено роботами Річмен і Уокера [6], Дугласа і Фарахата [7]. Групи як модулі над кільцями ендоморфізм пропонується досліджувати в книзі [2, проблема 12]. Увага багатьох фахівців залучають абелеві групи як модулі над їх кільцями ендоморфізм. Вивчалися групи, які є звичайно породженими [8], ін'єкційних [9], проектними [10], плоскими [11] модулями над своїми кільцями ендоморфізм.

Програма дослідження кілець ендоморфізм зі спеціальними властивостями була запропонована Селі. Вона привертає велику увагу фахівців. Актуальність цього напряму підкреслює постановка проблеми 84 в книзі [3]. Мається на увазі наступне. Для деякого кільцевого властивості описати абелеві групи, кільця ендоморфізм яких володіють цією властивістю. Досліджувалися групи з комутативними [12], локальними [13], регулярними [14], само-н'ектівнимі [15], спадковими [16] кільцями ендоморфізм.

Артинова і нетеровим кільця і ​​модулі відіграють винятково важливу роль в теорії кілець і модулів (див. Ламбек [17], Каш [18. Гл. 6]). Артинов-с- або нетеровим модуля представляють по суті деякі умови кінцівки.

Цікава наступна історія виникнення понять нетеровим (Артинова) кільця і ​​модуля. Історично одним з вихідних пунктів розвитку теорії некомутативних кілець і модулів над такими кільцями була теорія алгебр над полем К. Як самі такі алгебри, так і їхні ідеали і модулі над ними є одночасно векторними просторами над К. Отже, можна залучити теорію векторних просторів, що і було зроблено на першому етапі розвитку теорії. Якщо використовуються умови кінцівки, то ясно, що потрібно вимагати кінцевої розмірності лежать в основі векторних просторів над До.

Подальший розвиток було направлено на максимально можливе звільнення від припущення, що ми маємо справу з алгеброю. При розгляді кілець, які не є алгебра, в нашому розпорядженні вже немає теорії лінійних просторів і тому, зокрема, виникає питання про підходящої заміни умов кінцівки для алгебри, які більш не застосовні. Відповідні поняття і точки зору тут розробила в першу чергу Еммі Нетер, заклавши тим самим основи для подальшого розвитку. В якості умов кінцівки вона ввела умови мінімальності і максимальності, які можуть бути сформульовані еквівалентним чином як умови для ланцюгів подмодулей. І в інших розділах математики вони виявилися настільки ж важливими і природними. Відразу підкреслимо, що в подальшому мова йде про кінцевих або рахункових ланцюгах (ря-

дах) подмодулей і як відносини порядку розглядається включення.

Абелеві групи як нетеровим модулі над кільцями ендоморфізм вивчалися Рейдом [8] і Па-ріпаком [19]. У § 111 книги [3] дано опис абелевих груп, кільця ендоморфізм яких є тілами, простими або Артинова кільцями. Там же характеризуються періодичні групи з нетеровим кільцями ендоморфізм.

Група гомоморфізмів Іош (А, В) стандартним способом перетворюється в лівий модель над кільцем Е (В) і в правий модуль над кільцем Е (А). Добре відомо, що існує природний ізоморфізм лівих Е (В) -модулем Іош (ДВ) = В, де група В також розглядається як лівий Е (В) -модуль. Оскільки Іош (А, А) = Е (А), то ми бачимо, що дослідження групи Іош (А, В) як лівого Е (В)-модуля і правого Е (А)-модуля дійсно включає вивчення груп як модулів над їх кільцями ендоморфізм і вивчення груп з кільцями ендоморфізм спеціального виду.

Група гомоморфізмів є важливою і корисною конструкцією не тільки в теорії абелевих груп, кілець і модулів, але і в інших областях математики. У монографії Фукса [2] знайдено алгебраїчне будова групи гомоморфізмів, встановлені її гомологические властивості. Тій обставині, що група Іош (А, В) є Е (В) -модулем і Е (А) -модулем, в літературі приділялося мало уваги, хоча сам цей факт використовується часто. Модульний підхід до вивчення групи гомоморфізмів з одного боку, дозволяє в якості наслідків одноманітно виводити результати про групах як модулях над кільцями ендоморфізм і про кільцях ендоморфізм зі спеціальними властивостями. З іншого боку він дає можливість отримати додаткову інформацію про алгебраическом будові групи гомоморфізмів. Крім того, введення нових класів груп розширює знання про абелевих групах.

Всі використовувані далі позначення стандартні. Буква р завжди позначає просте число, N-безліч всіх натуральних чисел, 2 - група або кільце цілих чисел, 0 - група або поле раціональних чисел, 2 (р) - циклічна група порядку р, 2р) - квазіцікліческая р-група, 1Г - група цілих р-адіческіх чисел, - адитивна група

поля р-адіческіх чисел. Для групи Про позначимо через Е (О) її кільце ендоморфізм, г (О) - ранг, а гр (О) - р-ранг групи О, тобто гр (О) = г (О / РВ). Якщо А і В - групи, то група Іош (А, В) - група гомоморфізмів з групи А в групу В. Для натурального числа п визначимо дві цілком характеристичні підгрупи групи В:

пО = {п? |? ЄВ} і О [п] = {^ е 0 \ ng = 0}.

Всі групи, про які йде мова, абелеві.

Наведемо деякі добре відомі факти і поняття загального характеру, які в подальшому будемо застосовувати без пояснень.

Структура лівого Е (В)-модуля на групі Іош (А, В) задається за допомогою формули (а (р) а = а (щ) для всіх феІош (А, В), АЕЕ (В), АЄА. Структура правого Е (а)-модуля виходить за допомогою формули (фВ) а = ф (ва) для будь-якого ендоморфізм / Зеє (а). зокрема, будь-яку групу а можна природним чином перетворити в лівий модуль над своїм кільцем ендоморфізм Е (а), вважаючи , що аа = а (а) для будь-якого АЕЕ (а) і АЄА.

Нехай А і В - групи. покладемо

Ял (В) = X а А, К (А) = I кега-

а: А ^ В а-.А ^ В

Испол-зуемое короткі позначення $ = $ А (В), К = КВ (А), А = А / К. Підгрупа? називається слідом групи А в групі В (або А-цоколем). Вона цілком типова в групі В. Підгрупа Кназивает-ся По-радикалом групи А, вона є цілком ха-рактер-стической підгрупою групи А. Факторгруппа А можна назвати коследом групи В в групі А. Мають місце очевидні рівності S = SЛ (S) , а також КВ (а) = 0. Ясно, що Іош (А, В) = Іош (А, 6). Групу Іош (А, В) можна також есте-ничих чином ототожнити з групою Іош (А, Я). А саме, позначивши через I вкладення К ^ А, а через ж канонічний гомоморфізм А ^ А / К, отримаємо индуцированную послідовність 0 ^ Іош (А / К, В) - Іош (А, В) - Іош (К, В ), де I *, ж * - індуковані гомоморфізми. За визначенням підгрупи До повинно бути I * = 0. Отже, відображення ж * є изоморфизмом. За допомогою цього ізоморфізму і виходить ототожнення. Відзначимо ще, що в силу цілком характеристичності підгрупи До в групі А фактор-група А / К є лівий Е (А) -модуль, а Іош (А / К, В) - правий Е (А) -модуль. Ізоморфізм ж * є изоморфизмом правих Е (А) -модулем.

Часто застосовуються відомі твердження про індукованих послідовності. Якщо послідовність груп Про ^ У ^ Про ^ І ^ Про точна, а М- лівий модуль над кільцем Я, то маємо точну послідовність лівих і правих Я-модулів відповідно:

0 ^ Іош (І, М) ^ Іош (О, М) ^ Іош (В, М),

0 ^ Іош (М, В) ^ Іош (М, О) ^ Іош (М, І).

Якщо ж послідовність Про ^ К ^ М ^ Х ^ Про є точною послідовністю лівих Я-модулів, О - деяка група, то отримуємо точну послідовність правих і лівих Я-модулів відповідно

0 ^ Іош (Х, О) ^ Іош (М, О) ^ Іош (К, О),

0 ^ Іош (О, К) ^ Іош (О, М) ^ Іош (О, Ь).

Зазначимо важливі підмодулі модуля Іош (А, В), які можна отримати, виходячи з певних підгруп груп А і В. Наведемо також деякі канонічні модульні розкладання групи Іош (А, В), індуковані розкладаннями групи А чи В. Якщо Ж - деяка підгрупа (цілком характеристична підгрупа) групи В, то Іош (А, Ж) - подмодуль Е (А)-модуля (Е (В)-модуля) Іош (А, В). Звідси якщо

B = nw,

iel

де W - деякі підгрупи (цілком характеристичні підгрупи і безліч I звичайно), то має місце природний ізоморфізм Е ^) - моду-лей (Е (Я) -модулем):

Hom (A, B) = П Hom (A, W).

iel

Переходячи до групи A, можна отримати наступні підмодулі і розкладання. Якщо V - деяка підгрупа (цілком характеристична підгрупа) групи A, то множина {^ eHom (A, B) | ^ V = 0 | буде подмодулей Е ^-модуля (відповідно Е (А)-модуля) Hom (A, B). Його можна ототожнити з Hom (A / V, B). Зокрема, в разі A = Vl @ V2 групу Hom (Vl, B) вважаємо рівній наступній підгрупі групи Hom (A, B): {^ eHom (A, B) | ^ V2 = 0 |. розкладання

A = Е® V,

iel

де V - деякі підгрупи (цілком характеристичні підгрупи) групи A дає природний ізоморфізм Е (В) -модулем (Е ^ -модулем):

Hom (A, B) = П Hom (Vt, B).

iel

Докази багатьох результатів спираються також на наступне зауваження про притягують модулях [20. С. 523]. Нехай p.R ^ -S - гомоморфізм кілець, M - правий (лівий) S-модуль. За допомогою формул mr = mp (r) (відповідно rm = p (r) m), де meM, reR, на групі Mвводітся структура правого (лівого) R-модуля. Модуль MR (RM) називається притягає для модуля MS (SM). Його R-підмодулі збігаються з S-подмодулей, якщо р сюр'ек-тівен [18. С. 56], [20. С. 523].

Це зауваження грає важливу роль в наступних часто виникають ситуаціях. Нехай M - лівий модуль над деякими кільцем R, A і B - групи. Тоді Hom (A, M) (Hom (M, B)) - лівий (правий) R-модуль. Зазвичай модуль M буде з'являтися в зв'язку з цілком характеристичними підгрупами груп A і B. Нехай, наприклад, V- цілком характеристична підгрупа групи A. Тоді маємо Е ^ -модулем Vи A / V. Особливо важливий випадок, коли V - цілком характеристичне пряме доданок групи A. Для наших цілей корисно те, що для такої підгрупи V підмодулі Е ^-модуля V і Е (Р)-модуля V збігаються. Дійсно, канонічний гомоморфізм кілець E (A) ^ E (V) є сюр'ектівним і розглянута ситуація укладається в рамки поняття притягає модуля. Фактор-група A / V також є Е ^) - модулем і Е ^ / ^ - модулем і підмодулі цих модулів суть одне і те ж. Знову канонічний гомоморфізм кілець Е ^^ - Е ^ / У) сюр'ектівен. Можна далі зробити висновок, що підмодулі Е ^) - модуля і Е (Vl-модуля Hom (V, B) збігаються і той же справедливо для подмодулей Е ^-модуля і Е ^ / Р)-модуля Hom (A / V, B) . Аналогічним чином, якщо

W - цілком характеристичне пряме доданок

групи В, то збігаються підмодулі Е (В)-модуля і Е (Ж)-модуля Іош (А, Ж), а також підмодулі Е (В)-модуля і Е (В / Ж>-модуля Іош (А, В / Ж).

Будемо говорити, що просте число р відноситься до якоїсь групи, якщо вона має ^ -компонента, (тобто ^ -компонента цієї групи відмінна від нуля).

^ -Компонента групи Про називається найбільша ^ -група, що міститься в О. Зрозуміло, що ^ -компонента групи Про збігається з ^ -компонен-тій її періодичної частини.

Подільною (скороченої) ^ -компонента деякої групи Про будемо називати подільну (скороченої) частина її ^ -компоненти.

Група називається обмеженою, якщо порядки всіх її елементів обмежені в сукупності. Обмежена група є прямою сумою циклічних груп (теорема 17.2 з книги [2]).

Кільце Я називається нетеровим зліва (Артинов-вим зліва), якщо модуль Нетер (Артинов). Аналогічно визначаються нетеровим і Артинова справа кільця.

Модуль ЕМ називається нетеровим (Артинова), якщо будь-яке непорожня множина його подмодулей має максимальний (мінімальний) по включенню елемент.

Кажуть, що зростаюча (спадна) ланцюг подмодулей модуля М

A1сЛ2с ... сЛс||| (A1зA2з ... зAз ...) стабілізується (або обривається), якщо вона містить лише кінцеве число різних модулів Ап.

Теорема 1. [18. Теорема 6.1.2]. Нехай М лівий (правий) Я-модуль, А - його подмодуль. Наступні умови еквівалентні:

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Бер Р. Лінійна алгебра і проективна геометрія. - М .: Иностранная литература, 1955. - 400 с.

2. Фукс Л. Нескінченні абелеві групи. - М .: Світ, 1974. - Т. 1.

- 335 з.

3. Фукс Л. Нескінченні абелеві групи. - М .: Світ, 1977. - Т. 2.

- 416 з.

4. Марков В.Т, Міхальов А.В., Скорняков Л.А., Туганбаев А.А. Кільця ендоморфізм модулів і структури подмодулей. В кн .: Підсумки науки і техніки. Алгебра. Топологія. Геометрія. 1983. - Т. 21. - С. 183-254.

5. Крилов П.А., Міхальов А.В., Туганбаев А.А. Зв'язки абелевих груп і їх кілець ендоморфізм. - Томськ: Изд-во ТГУ, 2002.

- 451 з.

6. Richman F., Walker E. Primary abelian groups as modules over their endomorphism rings // Math. Z. - 1965. - V. 89. - № 3. - P. 77-81.

7. Douglas A.J., Farahat H.K. The homological dimension of an abelian group as a module over its ring of endomorphism // Monatsh. Math. - 1965. - V. 69. - № 2. - P. 294-305.

8. Reid J.D. Abelian groups finitely generated over their endomorphism rings // Lecture Notes Math. - 1981. - V. 874. - № 5. - P. 41-52.

9. Richman F., Walker E. Modules over PIDs that are injective over their endomorphism rings // Ring theory. - N.Y .: Academic Press, 1972. - P. 363-372.

(1) M Нетер (Артинов);

(2) A і M / A нетеровим (Артинова);

(3) кожна зростаюча (спадна) ланцюг подмодулей модуля M стабілізується.

Виклад отриманих авторами результатів

почнемо з ендоартінових і ендонётерових груп.

Група A, що є нетеровим (Артинова) модулем над своїм кільцем ендоморфізм, називається ендоартіновой (ендонётеровой). Отримано повний опис ендоартінових груп, а вивчення ендонётерових груп зведено, що традиційно для теорії абелевих груп, до вивчення ендонётерових груп без крутіння [21. С. 172]:

Теорема 2. 1) Група A ендоартінова тоді і тільки тоді, коли A = BBD, де B - обмежена група, D - делимая група з кінцевим числом ненульових ^ -компонент.

2) Група A ендонётерова тоді і тільки тоді, коли A = B®C, де B - обмежена група, C -ендонётерова група без крутіння.

У доказі цієї теореми використана лема 1.

Лемма 1. Нехай група A = Z®A; і H - цілком характеристична підгрупа il ^ A. тоді

н = Х® (н п 4),

iel

де кожна підгрупа HnAt цілком типова в A ;. Якщо деякі складові At і Aj ізоморфні, то всякий ізоморфізм між ними індукує ізоморфізм між HnAt і HnA.

Теорема 2 грає найважливішу роль в доведенні Артинова (нетеровим) багатьох подмодулей модуля Hom (A, B) (теореми 3, 5, пропозиції 5, 10).

10. Arnold D., Pierce R.S., Reid J.D., Vinsonhaler C., Wickless W. Torsion-free abelian groups of finite rank projective as modules over their endomorphism rings // J. Algebra. - 1981. - V. 71. - № 1. -P. 1-10.

11. Faticoni Th. G., Goeters P. Examples of torsion-free groups flat as modules over their endomorphism rings // Commun. Algebra. -1991. - V. 19. - № 1. - P. 1-27.

12. Szele T, Szendrei J. On abelian groups with commutative endomorphism rings // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. - 1951. - V. 2. -№ 9. - P. 309-324.

13. Orsatti A. Alcuni gruppi abeliani il cui anello degli endomorfismi e locale // Rend. Semin. mat. Univ. Padova. - 1965. - V. 35. - № 7.

- P. 107-115.

14. Glaz S., Wickless W. Regular and principal projective endomorphism rings of mixed Abelian groups // Commun. Algebra. -1994. - V. 22. - № 4. - P. 1161-1176.

15. Іванов А.В. Абелеві групи з самоін'ектівнимі кільцями ендоморфізм і кільцями ендоморфізм з аннуляторним умовою // Абелеві групи і модулі / Под ред. Л.А. Скорні-кова. - Томськ: Вид-во Томськ. ун-ту, 1982. - С. 93-109.

16. Albrecht U. Baer's lemma and Fuchs 'problem 84 a // Trans. Amer. Math. Soc. - 1986. - V. 203. - № 2. - P. 565-582.

17. Ламбек І. Кільця і ​​модулі. - М .: Світ, 1971. - 280 с.

18. Каш Ф. Модулі та кільця. - М .: Світ, 1981. - 368 с.

Завантажити оригінал статті:

Завантажити