Описано абелеві групи A і B такі, що група гомоморфізмів Hom (A, B) є Артинова модулем над кільцем ендоморфізм групи B. Опис груп A і B, для яких група Hom (A, B) є Артинова модулем над кільцем ендоморфізм групи A, зведена до випадку, коли група A не має крутіння, а група B або квазіцікліческая група, або делимая група без крутіння. Охарактеризовані абелеві групи A і B, для яких група Hom (A, B) є Нетер модуль над кільцем E (A) або E (B). Дослідження довільної абельовой групи з нетеровим зліва кільцем ендоморфізм зведено до дослідження групи без кручення з нетеровим зліва кільцем ендоморфізм. Дослідження групи з нетеровим справа кільцем ендоморфізм залишилося незавершеним. Описано сепарабельном абелеві групи без кручення з нетеровим зліва чи справа кільцями ендоморфізм.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Крилов П. А., Подберезіна Е. І.


Abelian groups as Artinian or Noetherian modules above endomorphism rings. P. 3

The A and B Abellian groups, such that the Hom (A, B) homomorphism group is the Artin module over the ring of the B group endomorphism, are described. Description of the A and B group for which the Hom (A, B) group is the Artin module over the ring of the A group endomorphism is reduced to the case when the Agroup has no torsion and the B group is either a quasi-cyclic group or a divisible group without torsion. The A and B Abellian groups for which the Hom (A, B) group is the Neter module over the E (A) or E (B) ring are characterized. The research of arbitrary Abellian group with the link Neter ring of endomorphisms is reduced to the research of the group without torsion with the link Neter ring of endomorphisms. The research of the right Neter ring of endomorphisms remained uncompleted. The separable Abellian groups without torsion with the link and right Neter rings of endomorphisms are described.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2006


    Журнал: Известия Томського політехнічного університету. Інжиніринг ГЕОРЕСУРСИ


    Наукова стаття на тему 'Абелеві групи як Артинова або нетерових модулі над кільцями ендоморфізм. Ч. 3 '

    Текст наукової роботи на тему «Абелеві групи як Артинова або нетерових модулі над кільцями ендоморфізм. Ч. 3 »

    ?Природні науки

    УДК 512.541

    Абелевих груп ЯК Артинова АБО нетерових модуль над кільцем ендоморфізм. Ч. 3

    П.А. Крилов *, Є.І. Подберезіна

    * Томський державний університет

    Томський політехнічний університет E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Описано абелеві групи A і B такі, що група гомоморфізмів Hom (A, B) є Артинова модулем над кільцем ендоморфізм групи B. Опис груп A і B, для яких група Hom (A, B) є Артинова модулем над кільцем ендоморфізм групи A, зведена до випадку, коли група A не має крутіння, а група B - або квазіцікліческая група, або делимая група без крутіння. Охарактеризовані абелеві групи A і B, для яких група Hom (A, B) є Нетер модуль над кільцем E (A) або E (B). Дослідження довільної абельовой групи з нетеровим зліва кільцем ендоморфізм зведено до дослідження групи без кручення з нетеровим зліва кільцем ендоморфізм. Дослідження групи з нетеровим справа кільцем ендоморфізм залишилося незавершеним. Описано сепарабельном абелеві групи без кручення з нетеровим зліва чи справа кільцями ендоморфізм.

    Проблема опису груп А і В таких, що Е (В) -модуль Іош (А, В) Нетер, в певному сенсі зведена до випадків циклічної групи А простого порядку і груп А і В без крутіння (теорема 5 [1. С. 69 ]).

    Пропозиція 9. Якщо Е (В) -модуль Іош (А, В) нё-теров, то

    ____ т

    А = Н © X® Z (р ™) © Про,

    п 1 = 1

    де Н - кінцева група, О - скорочена група без крутіння, п, теИ,

    до

    ^ = С ©? ®е ©? ®Е® z (р1) ®о ',

    П '= 1 п

    де С - обмежена, О '- скорочена група без крутіння, кеИ, п, П - деякі кардинали.

    Відзначимо велике значення слідства 27.3 з [2] для підтвердження цієї пропозиції. З пропозиції 9 випливає, що нетеровим досліджуваного модуля еквівалентна нетеровим наступних чотирьох Е (В) -модулем: Іош (Н, В), Іош (^ (р "), В), Іош (О, В), Іош (0, В ), де Н - кінцева група, О - скорочена група без крутіння.

    Пропозиції 10, 11 дають відповідь на питання: коли Е (В) -модуль Іош (0, В) Нетер?

    Пропозиція 10. Нехай! ®7 (р ") - делимая р-компонента групи В. Тоді Е (В) -модуль Іош (б,? ® / (р ™)) ні Нетер.

    Пропозиція 11. Припустимо, що група В не містить квазіцікліческіх груп. Тоді Е (В) -МО-дуль Іош (б,] С®0) Нетер.

    У реченні 12 встановлена ​​нетеровим Е (В)-модуля Іош (7 (р "), В).

    Пропозиція 12. Нехай 1®7 (р ") - делимая частина р-компоненти групи В. Тоді Е (В) -модуль Іош ^ р ^^ УЧР ')) Нетер.

    Цікаво доказ цієї пропозиції: побудована спадна ланцюжок його подмодулей і доведено, що інших власних подмодулей у цього модуля немає.

    Що стосується Е (В)-модуля Іош (Н, В), то його нё теров, зрозуміло, рівносильна нетеровим Е (В) -модулем виду Іош (1 (рк), В) для чисел р, що відносяться до групи Н ( нагадаємо, що Н - кінцева група). Нетеровим ж Е (В) -модулем такого виду рівносильна нетеровим Е (В)-модуля Іош (1 (р), В) згідно з пропозицією 13.

    Пропозиція 13. Е (В) -модуль Іош (1 (рк), В) Нетер тоді і тільки тоді, коли Нетер модуль Іош (Др), В).

    Відомо, що справедливий канонічний ізоморфізм Е (В) -модулем:

    Іош (7 (р), В) = В [р].

    Отже, в зв'язку з вивченням Е (В) -модем-ля Іош (Др), В) виникає завдання про нетеровим нижнього шару В [р] як Е (В)-модуля. Іншими словами, коли будь-яка зростаюча ланцюг цілком характери-

    стических підгруп групи В, що лежать в B [p], стабілізується?

    Пропозиція 14. Нехай Dp - делимая p-ком-нента групи В, G - скорочена група без крутіння. Е (В) -модуль Hom (G, Dp) НЕ Нетер.

    Цей факт використовується при вивченні змішаної групи з нетеровим зліва кільцем ендоморфізм.

    Теорема 5 є основним результатом дослідження груп A і В таких, що Е (В) -модуль Hom (A, B) Нетер.

    Теорема 5. Нехай A і В - групи. Е (В) -модуль Hom (A, B) Нетер тоді і тільки тоді, коли

    ____m

    A = H © X © Q © X®Z (Pj) © G,

    n j = l

    де H - кінцева група, G - скорочена група без крутіння, n, meN,

    k

    S = C © X © Q © X © DPi © G ',

    n i = 1 '

    де C - обмежена група, Dp - делимая р, -Ком-тами групи S, G '- редукує ванна група без крутіння, keN, n - деякий кардинал; для будь-якого p, пов'язаний із командою H, Е (В) -модуль Нот (1 (р), В) Нетер, причому:

    а) якщо k ^ 0, то

    __m k

    A = H © X®z (Pj), S = C © X © DPi;

    j = i = 1 '

    б) якщо k = 0, але n ^ 0, то

    A = H © X © Q © G, S = C © X © Q © G ',

    n n

    де r (G)<co і Е (В) -модуль Hom (G, S / M) Нетер, де M = C © I © Q;

    n

    в) якщо k = n = 0, то

    -= H © G, S = C © G ', для будь-якого p, пов'язаний із командою S, rp (G)<co і Е (В) -модуль Hom (G, S / C) Нетер.

    Основна ідея її докази та ж, що і теореми 3: побудова індукованих точних послідовностей Е (В) -модулем. Доказ необхідності теореми 5 також спирається на пропозиції 9, 13. Якщо обидві групи A і В не мають крутіння, то в питанні про нетеровим Е (В) -МО-дуля Hom (A ^) можна лише сподіватися на деякі часткові результати.

    Наведемо деякі слідства теореми 5. Слідство 14. Нехай A і В - періодичні групи. Е (В) -модуль Hom (A ^) Нетер тоді і тільки тоді, коли

    __m k

    A = H © X © Z (pJ), S = C © X © Dp ,

    j = 1? = i '

    де m, keN, H - кінцева група, C - обмежена група, Dp - делимая р, -компонента групи S, для будь-якого p, 'відноситься до групи H, Е (В) -модуль HomZ ^) ^ Нетер.

    Слідство 15. Нехай А і В - подільні групи. Е (В) -модуль Нот-А, В) Нетер тоді і тільки тоді, коли групи А і? або обидві періодичні, або обидві не мають крутіння, причому: в першому випадку

    _ Т до

    А = Х®),? = Х® ^;

    1 = 1 1 = 1

    у другому випадку

    А = х®е,? = 1®а

    п п

    де т, п, кеИ, п - деякий кардинал.

    Наступні три слідства випливають з пропозиції 14 і теореми 5.

    Слідство 16. Нехай А - скорочена група без крутіння, В - періодична група. Е (В) -МО-дуль Нот (А, В) Нетер тоді і тільки тоді, коли слід? є обмежена група і для будь-якого р, пов'язаний із командою А, гр (А)<зі.

    Слідство 17. Нехай А - скорочена група без крутіння, В - делимая група. Е (В) -модуль Нот (А, В) Нетер тоді і тільки тоді, коли слід? не має крутіння і г (А)<зі.

    Слідство 18. Нехай А - скорочена група без крутіння, а група В така, що її частина без крутіння є ділимо групою. Е (В) -модуль Нот (А, В) Нетер тоді і тільки тоді, коли слід? дорівнює прямій сумі обмеженої групи і ділимо групи без кручення, причому: а) якщо слід? містить хоча б одну групу 0, то г (А)<с; б) якщо слід? - обмежена група, то для будь-якого р, пов'язаний із командою?, Гр (А)<зі.

    З теорем 3 і 5 можна вивести умови, при яких Е (В) -модуль Нот (А, В) Артинов і Нетер одночасно.

    Слідство 19. Нехай А і В - періодичні групи. Е (В) -модуль Нот (А, В) Артинов і Нетер тоді і тільки тоді, коли слід? є обмежена група, причому для будь-якого р, пов'язаний із командою?, редукує-нна р-компонента групи В обмежена. Група А є кон-чной і для будь-якого р, пов'язаний із командою А, Е (В) -модуль Нот (^ р), В) Нетер.

    Слідство 20. Нехай А і В - подільні групи. Е (В) -модуль Нот (А, В) арти-ів і Нетер тоді і тільки тоді, коли групи-А і? не мають крутіння, причому ранг групи А кінцевий.

    Слідство 21. Нехай А - скорочена група без крутіння, В - періодична група. Е (В) -МО-дуль Нот (А, В) Артинов і Нетер тоді і тільки тоді, коли слід? є обмеженою групою; для будь-якого р, пов'язаний із командою?, скорочена р-компонента групи В обмежена і для будь-якого р, пов'язаний із командою?, гр (А)<зі.

    Слідство 22. Нехай А - скорочена група без крутіння, В - делимая група. Е (В) -модуль Нот (А, В) Артинов і Нетер тоді і тільки тоді, коли слід? не має крутіння і ранг групи А кінцевий.

    Слідство 23. Нехай А - скорочена група без крутіння, а група В така, що її частина без крутіння є ділимо групою. Е (В) -модуль Іош (А, В) Артинов і Нетер тоді і тільки тоді, коли слід? дорівнює прямій сумі обмеженої групи і ділимо групи без кручення; для будь-якого р, пов'язаний із командою?, скорочена р-ком-тами групи В обмежена, причому: а) якщо слід? містить хоча б одну групу 0, то г (А)<ат, б) якщо слід? є обмеженою групою, то для будь-якого р, пов'язаний із командою?, гр (А)<оо.

    Опис груп А і В, таких, що Е (А) -модуль Іош (А, В) Нетер, зведено до випадків групи А з необмеженою р-компонентою хоча б для одного р, що відноситься до сліду групи А в групі В і груп без крутіння А і В (теорема 49 [3. С. 69]).

    Теорема 6. Нехай А і В - деякі групи і нехай скорочена р-компонента групи А обмежена для будь-якого р, що відноситься до сліду? групи А в групі В. Е (А) -модуль Іош (А, В) нёте-рів тоді і тільки тоді, коли

    _ П _

    А = ^ © БР1 © Е © 0 © З ©

    ?=? © z р) © х®е © н © про ',

    1 = 1 т

    де п, теИ, п - деякий кардинал, Бр - делимая р, -компонента групи А, С - обмежений ^ ая група, Н - кінцева група, О і О '- скорочені групи без кручення, причому:

    а) якщо п ^ 0, то

    А =] Г © Бр © З © Про,

    I = 1 '

    п

    ? =? © Z (р1) © Х © б © Н © О ',

    1 = 1

    і Е (А) -модуль Іош (А / М ,?), де М = © БР © С, Нетер;

    б) якщо п = 0, але т ^ 0, то

    А = Х © 6 © З © Про,

    п

    ? = ^ © 0 © н © про ',

    т

    і Е (А) -модуль Іош (А / Х ,?), де Ь = |? 0 © С, Нетер;

    в) якщо п = т = 0, або

    ?= Н © О ', то - = С © Про

    і Е (А) -модуль Іош (А / С ,?) Нетер.

    Доказ теореми 6, яка відноситься до основних результатів роботи, спирається на побудову індукованих точних послідовностей Е (А) -модулем, теорему 1 та наступні пропозиції.

    Пропозиція 15. Нехай Е (А) -модуль Іош (А, В) Нетер. Тоді група? є пряма сума кінцевого числа доданків:

    ? =? © z р) © х © 0 © н © про ',

    1 = 1 т

    де п, теИ, Н - кінцева група, О '- скорочена група без крутіння.

    Пропозиція 15 дає інформацію про будову сліду групи А в групі В для нетеровим Е (А) -МО-дуль Іош (А, В). Підкреслимо значну роль слідства 27.3 з книги [2] в його доказі. З пропозиції 15 (якщо врахувати вид деяких подмодулей Е (А)-модуля Іош (А, В)) випливає, що нё теров Е (А)-модуля Іош (А, В) рівносильна нё теров наступних його подмодулей: Іош ( А, 2 | р)), Іош (А, 0), Іош (А, г (р « ')), Іош (А, О), де О' - скорочена група без крутіння. Крім того, знаючи будову сліду групи А в групі В, легко зробити висновок про будову коследа групи В у групі А.

    Пропозиція 16. Нехай Бр - делимая р-ком-нента групи А. Е (А) -модуль Іош (Бр, 1 (р "")) Нетер.

    Цікава ідея докази пропозиції 16: виписана спадна послідовність подмодулей Е (А)-модуля Іош (Бр ^ (р)), існуванням якої раніше була обгрунтована неартіно-с- цього модуля, і показано, що інших власних подмодулей у цього модуля немає.

    Пропозиція 17. Нехай Г = 2? 0, де п - деякий кардинал. Е (Р) -модуль Іош (У, 1 (р '°)) ні нёте-рів і не Артинов.

    Пропозиція 18. Нехай слід? групи А в групі В містить хоча б одну квазіцікліческую групу, - делимая частина без крутіння групи А, п -певний кардинал, Бр - делимая р-компонента групи А і Б = БР © Е®0. Е (А) -модуль Іош (Б, 1 (р ")) ні Нетер і не Артинов.

    Пропозиція 19. Нехай Б - делимая частина групи А, Бр - періодична частина групи Б, тобто Б = Бр ©! © 0 для некоторго кардинала п. Е (А) -МО-дуль Іош (Б, 0) Нетер і Артинов.

    Наведемо наслідок теореми 6.

    Слідство 24. Нехай А і В - подільні групи. Е (А) -модуль Іош (А, В) Нетер тоді і тільки тоді, коли слід? групи А в групі В є ділимо групою кінцевого рангу, причому:

    а) якщо слід? містить квазіцікліческую групу,

    то А є періодичної групою з кінцевим числом р-компонент;

    б) якщо слід -? не містить квазіцікліческую

    групу, то А є група без крутіння.

    Слідство 25. Нехай А і В - періодичні

    групи і нехай скорочена р-компонента групи А обмежена для будь-якого р, що відноситься до сліду?. Е (А) -модуль Іош (А, В) Нетер тоді і тільки тоді, коли слід? дорівнює прямій сумі кінцевої групи і ділимо періодичної групи кінцевого рангу, а А є пряма сума обмеженої групи і ділимо періодичної групи з кінцевим числом р-компонент.

    = 1

    З теореми 6 і слідства 15 випливає наслідок.

    Слідство 26. Нехай А і В _ ділені групи. Група Іош (А, В) є нетеровим Е (А) -модем-лем і нетеровим Е (В) -модулем тоді і тільки тоді, коли групи А і? мають кінцевий ранг, причому або вони обидві періодичні, або обидві без крутіння.

    Наступне наслідок випливає з теореми 6 і слідства 14.

    Слідство 27. Нехай А і В _ періодичні групи і скорочена р-компонента групи А обмежена для будь-якого р, що відноситься до сліду?. Група Іош (А, В) є нетеровим Е (А) -модем-лем і одночасно нётеровим_Е (В) -модулем тоді і тільки тоді, коли групи А і? рівні прямий сумі кінцевої групи і ділимо пер-іодіческой групи кінцевого рангу (ранги груп А і? кінцеві, але збігатися не зобов'язані) і для любого-, що відноситься до скороченої частини групи А, неті-ровим є Е (В) -модуль Іош ( др), В). Наведемо слідства теорем 6 і 4. Слідство 28. Нехай А і В _ ділені групи. Е (А) -модуль Іош (А, В) арті_ов і Нетер тоді і тільки тоді, коли групи А і? не мають крутіння і ранг групи? кінцевий.

    Слідство 29. Нехай А і В _ періодичні групи. Е (А) -модуль Іош (А, В) Артинов і Нетер тоді і тільки тоді, коли слід? дорівнює прямій сумі кінцевої групи і ділимо-ой періодичної групи кінцевого рангу, група А є обмеженою і для будь-якого р, пов'язаний із командою В, скорочена р-компонента групи А обмежена.

    Слідство 30. Нехай групи А і В такі, що їх частини без крутіння є ділимими групами. Е (А) -модуль Іош (А, В) Артинов і Нетер тоді і тільки тоді, коли для будь-якого р, пов'язаний із командою В, скорочена р-компонента групи А обмежена; слід? дорівнює прямій сумі кінцевої групи і ділимо групи кінцевого рангу, причому:

    а) якщо група? містить квазіцікліческую груп-пу, то вона є періодичної, а група А є обмеженою;

    б) якщо група? не містить квазіцікліческую групу, але містить кінцеве число копій групи 0, то вона дорівнює прямій сумі кінцевої групи і ділимо групи без кручення кінцевого рангу, а група А є пряма сума обмеженої групи і ділимо групи без кручення;

    в) е-слі ж слід? є кінцева група, то група А є обмеженою.

    Відомо будова довільних абелевих груп з Артинова кільцями ендоморфізм. Кільце ендоморфізм Е (А) групи А Артинова зліва (або справа) тоді і тільки тоді, коли А = В®Б, де В _ кінцева група, Б _ делимая група без крутіння кінцевого рангу (теорема

    111.3 з [4]). Описано також періодичні Абеле-ви групи з нетеровим справа (або зліва) кільцями ендоморфізм. Кільце Е (А) періодичної групи А нетеровим справа (або зліва) тоді і тільки тоді, коли А - пряма сума кінцевого числа коцікліческіх груп (пропозиція 111.4 з [4]). Нагадаємо, що коцікліческая група _ це або циклічна р-група, або квазіцікліческая група. На противагу умові мінімальності умова максимальності, накладене на кільце ендоморфізм, не дуже обмежує групову структуру.

    Лемма 6. Нехай А _ змішана абелева група з нетеровим кільцем ендоморфізм. Тоді А = Ш>0, де Т _ пряма сума кінцевого числа коцікліче-ських груп, Про _ група без крутіння.

    З цієї леми випливає, що якщо кільце ендоморфізм змішаної групи А нетеровим, то його можна представити кільцем матриць:

    Е (А) =

    Е (Т) Іош (О, Т)

    0

    Е (О)

    де О і Т - такі групи, як в лемі 6. Згідно упр. 6 [5. С. 165] таке кільце матриць нетеровим зліва (відповідно праворуч) тоді і тільки тоді, коли кільця Е (Т) і Е (О) нетеровим зліва (відповідно праворуч) і Е (Т) -модуль Іош (О, 7) Нетер ( відповідно Е (О) -модуль Іош (О, Т) Нетер).

    Таким чином, вивчення групи А з нетеровим кільцем ендоморфізм Е (А) тісно пов'язане з вивченням нетеровим модуля Іош (О, 7) над кільцями ендоморфізм груп О і Т, де групи О і Т такі, як в лемі 6.

    Дослідження довільних абелевих груп з нетеровим зліва кільцем ендоморфізм вдалося повністю звести до дослідження груп без крутіння з нетеровим зліва кільцем ендоморфізм [6].

    Пропозиція 20. Нехай Про _ група без крутіння, Т _ пряма сума кінцевого числа коціклі-чеських груп. Е (7) -модуль Іош (О, Т) Нетер тоді і тільки тоді, коли Т _ скорочена група і для будь-якого р, що відноситься до Т, гр (О) кінцевий.

    Теорема 7. Нехай А _ змішана група. Кільце Е (А) нетеровим зліва тоді і тільки тоді, коли А = Т§О, де Т _ кінцева група, Про _ група без крутіння така, що кільце Е (О) нетеровим зліва і для будь-якого р, що відноситься до Т, гр (О) кінцевий.

    Дослідження змішаних груп з нетеровим справа кільцями ендоморфізм залишилося незавершеним; звести їх вивчення до вивчення груп без крутіння з нетеровим справа кільцями ендоморфізм не вдалося. Це пов'язано з тим, що не вдалося в загальному випадку відповісти на питання про нёте-ровості правого Е (О)-модуля Іош (О, Т), де Про _ скорочена група без крутіння, Т - пряма сума кінцевого числа коцікліческіх груп. Відповідь отримано при деяких обмеженнях на групу О ([6]).

    Пропозиція 21. Нехай О - група без крутіння, р - просте число, Б - делімаяр-група. Якщо О - або не р-делимая група, або Про - р-делимая група і кільце Е (О) лічильно, то Е (О) -модуль Іош (О, Б) не є нетеровим.

    Пропозиція 22. Нехай О - група без крутіння, Т - кінцева група. Якщо гр (О) кінцевий для кожного р, пов'язаний із командою Т, то Е (О) -МО-дуль Іош (О, 7) Нетер.

    Пропозиції 21 і 22 дозволяють зробити деякі висновки про будову змішаних груп з нёте-ровимі справа кільцями ендоморфізм.

    Слідство 31. Нехай група Л = Т®О, де Про -группа без крутіння з нетеровим справа кільцем Е (О), Т - кінцева група, причому гр (О) кінцевий для всякого р, пов'язаний із командою Т. Тоді кільце Е ( Л) нетеровим справа.

    Слідство 32. Нехай група Л = Т®О, де Про -группа без крутіння з рахунковим кільцем Е (О) (наприклад, група Про має кінцевий ранг), Т - пряма сума кінцевого числа коцікліческіх груп. Якщо кільце Е (Л) нетеровим справа, то Т - скорочена група (або, що тут рівносильно, Т-кінцева група).

    Слідство 33. Нехай Л - змішана група кінцевого рангу без крутіння. Кільце Е (Л) нетеровим справа в тому і тільки в тому випадку, коли Л = Т®О, де О - група без крутіння кінцевого рангу з нё теров справа кільцем Е (О), Т - кінцева група.

    Нагадаємо, що група без крутіння Л називається сепарабельном, якщо кожне кінцеве підмножина елементів з Л міститься в деякому цілком розкладені прямому доданку групи Л.

    Отримано вичерпний опис Сепар-бельной абелевих груп без крутіння з нетеровим-ми зліва чи справа кільцями ендоморфізм [7].

    Теорема 8. Кільце ендоморфізм сепарабель-ної групи без кручення Про нетеровим справа тоді і тільки тоді, коли Про є цілком разложимой групою кінцевого рангу і типи її однорідних компонент попарно непорівнянні.

    Теорема 9. Нехай О - сепарабельном група без крутіння. Кільце Е (О) нетеровим зліва тоді і тільки тоді, коли група Про є цілком разложимой групою кінцевого рангу і типи її різних однорідних компонент або непорівнянні, або можна порівняти за рахунок нескінченностей.

    Це опис істотно спирається на дослідження групи Іош (Л, В), де Л і В - групи без кручення рангу 1, як нетеровим Е (В)-модуля або Е (Л)-модуля.

    Наведемо слідства теорем 8 і 9.

    Слідство 34. Кільце ендоморфізм Сепар-бельной групи без кручення кінцевого рангу, типи всіх прямих доданків рангу 1 якої йдемо-потентность, нетеровим зліва.

    Слідство 35. Якщо кільце ендоморфізм се-парабельной групи без кручення нетеровим справа, то воно нетеровим зліва.

    З теореми 8 і слідства 34 випливає добре відомий факт, що кільце ендоморфізм групи 2® 0, изоморфное кільцю матриць

    нетеровим зліва, але не нетеровим справа. Те ж вірно для груп бр © е, 2® 0р.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Подберезіна Є.І. Група Іош (Л, В) як Нетер модуль над кільцем ендоморфізм групи в // Абелеві групи і модулі. - Томськ: Вид-во Том. ун-ту, 2000. - Вип. 15. - С. 190-199.

    2. Фукс Л. Нескінченні абелеві групи. - М.: Світ, 1974. - Т. 1. - 335 с.

    3. Крилов П.А., Подберезіна Є.І. Група Іош (Л, В) як Нетер модуль над кільцем ендоморфізм групи в // Дослідження з математичного аналізу і алгебри / Под ред. член-кор. РАО, проф. І.А. Александрова, проф. П.А. Крилова. -Томск: Изд-во Том. ун-ту, 2000. - С. 63-76.

    4. Фукс Л. Нескінченні абелеві групи. - М .: Світ, 1977. - Т. 2.

    - 416 з.

    5. Каш Ф. Модулі та кільця. - М .: Світ, 1981. - 368 с.

    6. Крилов П.А., Подберезіна Є.І. Будова змішаних Абеле-вих груп з нетерових кільцями ендоморфізм // Абелеві групи і модулі. - Томськ: Вид-во Том. ун-ту, 1994. -Вип. 11-12. - С. 121-129.

    7. Подберезіна Є.І. Будова сепарабельних абелевих груп без крутіння з нетеровим кільцями ендоморфізм // Абелеві групи і модулі. - Томськ: Вид-во Том. ун-ту, 1990. - Вип. 9.

    - С. 77-83.


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити