Описано абелеві групи A і B такі, що група гомоморфізмів Hom (A, B) є Артинова модулем над кільцем ендоморфізм групи B. Опис груп A і B, для яких група Hom (A, B) є Артинова модулем над кільцем ендоморфізм групи A, зведена до випадку, коли група A не має крутіння, а група B або квазіцікліческая група, або делимая група без крутіння. Охарактеризовані абелеві групи A і B, для яких група Hom (A, B) є Нетер модуль над кільцем E (A) або E (B). Дослідження довільної абельовой групи з нетеровим зліва кільцем ендоморфізм зведено до дослідження групи без кручення з нетеровим зліва кільцем ендоморфізм. Дослідження групи з нетеровим справа кільцем ендоморфізм залишилося незавершеним. Описано сепарабельном абелеві групи без кручення з нетеровим зліва чи справа кільцями ендоморфізм.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Крилов П. А., Подберезіна Е. І.


Abelian groups as Artinian or Noetherian modules above endomorphism rings. Part 2

The A and B Abellian groups, such that the Hom (A, B) homomorphism group is the Artin module over the ring of the B group endomorphism, are described. Description of the A and B group for which the Hom (A, B) group is the Artin module over the ring of the A group endomorphism is reduced to the case when the A group has no torsion and the B group is either a quasi- cyclic group or a divisible group without torsion. The A and B Abellian groups for which the Hom (A, B) group is the Neter module over the E (A) or E (B) ring are characterized. The research of arbitrary Abellian group with the link Neter ring of endomorphisms is reduced to the research of the group without torsion with the link Neter ring of endomorphisms. The research of the right Neter ring of endomorphisms remained uncompleted. The separable Abellian groups without torsion with the link and right Neter rings of endomorphisms are described.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2006
    Журнал: Известия Томського політехнічного університету. Інжиніринг ГЕОРЕСУРСИ
    Наукова стаття на тему 'Абелеві групи як Артинова або нетерових модулі над кільцями ендоморфізм. Ч. 2 '

    Текст наукової роботи на тему «Абелеві групи як Артинова або нетерових модулі над кільцями ендоморфізм. Ч. 2 »

    ?Природні науки

    УДК 512.541

    Абелевих груп ЯК Артинова АБО нетерових модуль над кільцем ендоморфізм. Ч. 2

    П.А. Крилов *, Є.І. Подберезіна

    * Томський державний університет

    Томський політехнічний університет E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Описано абелеві групи A і B такі, що група гомоморфізмів Hom (A, B) є Артинова модулем над кільцем ендоморфізм групи B. Опис груп A і B, для яких група Hom (A, B) є Артинова модулем над кільцем ендоморфізм групи A, зведена до випадку, коли група A не має крутіння, а група B - або квазіцікліческая група, або делимая група без крутіння. Охарактеризовані абелеві групи A і B, для яких група Hom (A, B) є Нетер модуль над кільцем E (A) або E (B). Дослідження довільної абельовой групи з нетеровим зліва кільцем ендоморфізм зведено до дослідження групи без кручення з нетеровим зліва кільцем ендоморфізм. Дослідження групи з нетеровим справа кільцем ендоморфізм залишилося незавершеним. Описано сепарабельном абелеві групи без кручення з нетеровим зліва чи справа кільцями ендоморфізм.

    Повністю вирішена проблема опису абелевих груп А і В таких, що лівий Е (В) -модуль Іош (А, В) Артинов (теорема 3 [1. С. 178]). Ключем до вирішення цієї проблеми служать наступні дві пропозиції.

    Пропозиція 1. Припустимо, що А і В - такі групи, що Іош (А, В) - Артинов Е (В) -модуль або Артинов Е (А) -модуль. Тоді для деякого теИ має місце розкладання

    Іош (А, В) = тІош (А, В) © К, де тІош (А, В) - делимая група, К - обмежена група.

    Пропозиція 2. Якщо тІош (А, В) - делимая група для деякого ті N то і ш8 - делимая група.

    Ці пропозиції розкривають будову сліду групи А в групі В за умови, що модуль Іош (А, В) Артинов. Потрібно підкреслити, що це відноситься як до Е (В) -модулем Іош (А, В), так і до Е (А) -модулем Іош (А, В). Справа в тому, що в основі докази пропозицій 1 і 2 лежить розгляд ланцюга Е (В) -подмодулей модуля Іош (А, В), яка є також і ланцюгом Е (А) -подмодулей цього модуля. Тому ці пропозиції важливі і для вивчення Іош (А, В) як Артинова модуля над кільцем Е (А).

    Пропозиції -, 4 і лема 2 уточнюють будова сліду? і коследа А в припущенні, що Е (В) -МО-дуль Іош (А, В) Артинов.

    Пропозиція 3. Якщо Іош (А, В) - Артинов Е (В) -модуль або Е (А) -модуль, то число подільних р-компонент сліду? звичайно.

    Лемма 2. Подмодуль Іош (7 (р "), $ р) Е (В)-модуля Іош (А, В) не є Артинова.

    Пропозиція 4. Якщо Е (В) -модуль Іош (А, В) Артинов, то _

    А = Н © Х®б ©

    т

    де Н - кінцева група, О - скорочена група без крутіння і теИ.

    Пропозиція 5. Нехай Іош (А, В) є Артинова Е (В) -модулем. Тоді для будь-якого р, пов'язаний із командою С, скорочена р-компонента групи В обмежена. Група В = й (В) ®Е®У, де й (В) - делимая частина групи В; Е - обмежена група і всяке р, що відноситься до Е, відноситься і до С; V - деяка група, причому Іош (А, В) = 0. Слід? - Артинов Е (В) -модуль.

    Пропозиція 5 цікаве тим, що в ньому повністю описано будову групи В такий, що Е (В) -модуль Іош (А, В) Артинов. Крім того, ця пропозиція стверджує, що слід групи А в групі В є в цьому випадку Артинова Е (В) -модем-лем. Останній факт використаний в доказі достатності теореми 3.

    Теорема 3. Нехай А і В - деякі групи. Лівий Е (В) -модуль Іош (А, В) Артинов тоді і тільки тоді, коли

    ? = В © Х®б © з,

    п

    де Б - делимая періодична група з кінцевим числом р-компонент; З - обмежена група; П - деякий кардинал, а

    А = н ®Y © Q © °,

    т

    де Н - кінцева група, О - скорочена група без крутіння; теИ і для будь-якого р, пов'язаний із командою С, скорочена р-компонента групи В обмежена.

    причому:

    • якщо Бф0, то - = Н®О, г (О)<<»І г (О) = гр (О) для

    всіх р, що відносяться до групи Б;

    • якщо Б = 0, але? ®0 ^ О, то г (О)<ж>;

    • -слі? - обмежена група, тобто? = С, то

    А = Н®О і для будь-якого р, що відноситься до ?,

    Гр (О)<ж.

    Теорема 3 відноситься до основних результатів дослідження групи Іош (А, В) як Артинова Е (В)-модуля. Вона дає повний опис абелевих груп А і В таких, що Е (В) -модуль Іош (А, В) арти-нів. Зрозуміло, що пропозиції, про які вище йшла мова, є суттєвою частиною докази її необхідності. Як доказ тверджень теореми 3 про ранзі (р-р-нге) скороченої частини без крутіння групи А, так і доказ її достатності засноване на побудові індукованих точних послідовностей Е (В) -модулем і теоремі 1. В процесі доведення необхідності теореми 3 встановлено, зокрема, що Е (в) -модуль Іош (0, Бр) НЕ Артинов.

    Наведемо кілька наслідків теореми 3 і записаних вище пропозицій.

    Слідство 1. Нехай А і В - групи, причому В

    - скорочена група. Лівий Е (В) -модуль Іош (А, В) Артинов тоді і тільки тоді, коли? - обмежена група і для будь-якого р, що відноситься до?, Р-компонента групи В обмежена, а група А = Н®О, де Н - кінцева група, О - скорочена група без крутіння і для кожного р, що відноситься до?, Гр ( О)<<».

    Наслідок 2. Нехай А і В - періодичні групи. Лівий Е (В) -модуль Іош (А, В) Артинов в тому і тільки в тому випадку, якщо? - обмежена група, причому для будь-якого р, що відноситься до?, Скорочена р-компонента групи В обмежена, а А - кінцева група.

    Слідство 3. Якщо А і В - групи без кручення, Е (В) -модуль Іош (А, В) Артинов тоді і тільки тоді, коли? - делимая група, а А - група кінцевого рангу.

    Зазначимо більш точні співвідношення між слідом?, Коследом А і групами А і В у випадку, коли Е (В) -модуль Іош (А, В) Артинов. За пропозицією 5 маємо рівність B = d (B) ®E®V, де d (B) - делимая частина групи В; Е - обмежена група і всяке р, що відноситься до Е, відноситься і до С, причому Іош (А, Р) = 0. з

    докази цієї пропозиції [1. С. 177] робимо висновок, що S = d (B) ®E [k], якщо - ^ Ні S = d (B) [t] ®E [k], якщо А = Н для якихось до, tеN. У першому випадку, d (B) = D®I®Q, С = Е [к], в другому - C = S = d (B) [t] ®E [k]. Можна також привести деякі загальні умови, при яких S = d (B) ®E або? = Е, тобто слід виділяється прямим доданком в групі В.

    Слідство 4. 1) Нехай А і В - такі групи, як в слідстві 1. Тоді маємо В = Е®Ж і? = Е [к] для деякого кеИ.

    -) Якщо А і В - групи з слідства 2, то А = А © V для -який-то групи V, причому Іош (А, Р) = 0, а А - кінцева група.

    Слідство 5. Нехай А - група без крутіння, В -періодична група. Лівий Е (В) -модуль Іош (А, В) Артинов тоді і тільки тоді, коли? = Б® С, де Б - делимая періодична група з конечним_чіслом р-компонент, С - обмежена група, а A = Z0Q® О, де теИ, О - скорочена група без крутіння і для будь-якого р, пов'язаний із командою С, скорочена р-компонента групи В обмежена, причому: а) якщо Б ^ 0, то а = О, г (О)<<»І г (О) = гр (О) для всіх р, що відносяться до Б; б) якщо Б = 0, тобто якщо? = С, то А = О і для будь-якого р, пов'язаний із командою?, гр (О)<(х>.

    Слідство 6. Нехай А - довільна, а В - делимая групи. Е (В) -модуль Іош (А, В) Артинов тоді і тільки тоді, коли

    ?= Б®:>; ^,

    п

    де Б - делимая періодична група з кінцевим числом р-компонент, п - деякий кардинал, а

    ^ Н®: ®о®о,

    де Н - кінцева група, ті І, О - скорочена група без крутіння, причому: а) якщо Б ^ 0, то А = Н®О, г (О)<(х> і г (О) = гр (О) для всіх р, що відносяться до групи Б; б) якщо Б = 0, тобто есліслед ?

    - делимая група без крутіння, то група А теж не має крутіння і г (О)<х>.

    Слідство 7. Нехай А і В - подільні групи. Е (В) -модуль Hom-A, B) Артинов тоді і тільки тоді, коли групи А і? являють собою групи без кручення, причому ранг групи А кінцевий.

    Проблема опису груп А і В, для яких Іош (А, В) - Артинов Е (А) -модуль, зведена по суті до випадку, коли група А не має крутіння, а група В є однією з наступних груп: 1 (р) , Хр), Q (теорема 20 [2. С. 197]).

    Домовимося через Бр (відповідно ЛР) позначати подільну (відповідно редуцированную) р-компоненту групи А. Потім Тр - вся р-ком-нента групи А, тобто Tt = Бp®Rt.

    Нехай групи А і В такі, що правий Е (А) -модуль Іош (А, В) Артинов. З пропозицій 1-3 випливає, що в такому випадку слід? є пряма сума ділимо групи і обмеженої групи. Оскільки Іош (А, ^ є подмодуль Е (А)-модуля Іош (А, В) для будь-якої підгрупи 1РЬВ, то зрозуміло, що група? Не може мати нескінченних прямих розкладів. Таким чином, якщо Іош (А, В) - ар-

    тинів Е (А) -модуль, то слід? є прямою сумою ділимо групи кінцевого рангу і кінцевої групи. Приклад модуля Іош (ДХ (р ")) показує, що при цьому в сліді дійсно може бути присутнім група Х (р").

    Що стосується будови коследа групи В у групі А для Артинова Е (А)-модуля Іош (А, В), то воно отримано в пропозиціях 6 і 7.

    Пропозиція 6. Якщо Бр ^ 0 і група В містить підгрупу Хр "), то Е (А) -модуль Іош (А, В) не є Артинова.

    Пропозиція 7. Якщо Іош (А, В) - Артинов Е (А) -модуль, то скорочена р-компонента групи А обмежена для будь-якого р, пов'язаний із командою В, і таких р-компонент кінцеве число.

    Ці пропозиції разом з висновком про будову сліду групи А в групі В є доказ необхідності теореми 4, яка відноситься до основних результатів дослідження групи Іош (А, В) як Артинова модуля над кільцем Е (А).

    Позначимо буквами Т і Б відповідно періодичну і подільну частини групи А.

    Теорема 4. Нехай А і В - деякі групи. Е (А) -модуль Іош (А, В) Артинов тоді і тільки тоді, коли слід? дорівнює прямій сумі кінцевої групи і ділимо групи кінцевого рангу; для кожного р, пов'язаний із командою В, скорочена р-компонента групи А обмежена, групи А і В не містять одночасно груп Х (р "); Е (А) -модуль Іош (А / Т, Х (р)) Артинов, якщо р відноситься до сліду?, Е (А) -модуль Іош (А / Т, Х (р ")) Артинов, якщо в сліді? міститься група Х (р ") і, нарешті, Е (А) -модуль Іош (А / (Т + Б) ^) Артинов, якщо в сліді? міститься група Q.

    Доказ достатності теореми 4 спирається на використання індукованих точних послідовностей Е (А) -модулем, теорему 1 та пропозиція 8.

    Пропозиція 8. Припустимо, що скорочена р-компонента групи А обмежена. Тоді Е (А) -модуль Іош '(Тр, Х (рк)) Артинов для всякого ке І, де Тр - р-компонента групи А.

    В 2. С. 194-195] розглянуті приклади. Нагадаємо, що п - деякий кардинал.

    Приклади 1. 1) Нехай А = '?? 1 (р) або А =? ®2. Тоді Е (А) -модуль Іош (А, Х (р)) неприводим.

    2. Якщо A ^ = ^ LmQ, то Е (А) -модуль Іош (А, Q) неприводим.

    Ці приклади цікаві самі по собі. Е (А) -МО-дулі, що розглядаються в них, що не приводиться, а значить, Артинова і нетеровим. Непріводімим Е (А)-модуля Іош (А, Хр)), де А =: 9Х, означає, що кослед групи В у групі А може містити редуцированную групу без крутіння нескінченного рангу, однак Е (А) -модуль Іош (А, В) буде Артинов-вим, нетеровим (навіть не приводиться). Ці приклади грають важливу роль в доведенні арти-

    новини (нетеровим) деяких подмодулей модуля Hom (A, B). Так, доказ нетеровим E (A)-модуля Hom (D, Q), де D - делимая частина групи A, звелося в кінцевому рахунку до доказу нетеровим E ^-модуля Hom (A, Q), де A = Z? Q з прикладу 1 (пропозиція 19). Доказ Артинова E (A)-модуля Hom (Tp, Z (pk)), де Tp

    - обмежена p-компонента групи A, також звелося до доказу Артинова E (A)-модуля Hom (A, Z (p)), де A = i? Z (p) з прикладу 1 (пропозиція 8). Ця обставина набуває тим більше значення, що доказ пропозиції 8 засноване на побудові індукованих послідовностей E (A) -модулем і обгрунтуванні неприводимости останніх. Тому воно являє собою доказ і нетеровим зазначеного модуля. Ці приклади використовуються і в доведенні теореми 4.

    У зв'язку з доведенням теореми 4 необхідно зробити наступні зауваження.

    1. Доказ Артинова модуля Hom (A, Q) показує, що в теоремі 4 замість Артинова модуля Hom (A / (T + D), Q) можна вимагати ар-тинів модуля Hom (A / D, Q) або модуля Hom ( A / r, Q).

    2. Уявімо групу A у вигляді A = R @ D, де R - скорочена, D - делимая групи. Тоді T + D = t (R) ®D (тут t (R) - періодична частина групи R). Має місце ізоморфізм A / (T + D) = R / t (R), де на групі без крутіння R / t (R) певним способом може бути задана структура лівого E (A)-модуля.

    3. Теорема 4 в деякому сенсі зводить вирішення проблеми Артинова E (A)-модуля Hom (A, B) до дослідження Артинова модулів Hom (A, Z (p)), Hom (A, Z (p ")), Hom ( A, Q), де група A є групою без крутіння і по суті розглядається як модуль над деякими подкольцом кільця E (A). Дійсно, якщо A - довільна група, то в силу теореми 4 можливо доведеться досліджувати Артинов-с- E (A)-модуля Hom (A / T, Z (p)). Існує канонічний кільцевої гомоморфізм E (A) ^ E (A / T). Якщо він є сюр'ектівним, то підмодулі E (A)-модуля і E (A / T)-модуля збігаються. Однак, взагалі, це не так. Так само йде справа і з E (A) -модулем Hom (A / T, Z (p ")) і Hom (A / (T + D), Q).

    Розглянемо докладніше будова сліду S і коследа A, а також самих груп A і B, якщо Hom (A, B)

    - Артинов E (A) -модуль. Для цього будуть потрібні наступні три леми.

    Лемма З. Припустимо, що делимая група D містить одну з груп Z (p ") або Q. Тоді E ^ -МО-дуль Hom (D, Z (p")) не є Артинова.

    Лемма 4. Припустимо, що делимая частина D групи A містить або групу Z (p "), або групу Q. Тоді E ^ -модуль Hom (A, Z (p")) не є ар-тинів.

    в

    Лемма 5. Якщо змішана група А є р-ділимо, тобто А = РА, то Е (А) -модуль Іош (А, Х (р ")) не є Артинова.

    Нехай тепер групи А і В мають ту властивість, що правий Е (А) -модуль Іош (А, В) Артинов. На підставі пропозицій 6 і 7 можна написати A = Rp? ® ... ®Rpk®Бo® V, де Rpl (г = 1, ..., к) - скорочені р-компоненти групи А для деяких р, що відносяться до?, Що є обмеженими групами, Б0 - делимая група без крутіння, V - деяка група. При цьому t (V) cKB (A) cVі КВ (А) = КВ (Р) (тут ^ У) - періодична частина групи V). Зрозуміло, якісь складові в записаної сумі можуть бути відсутні. Так, з огляду на леми 4-Б0 = 0, якщо в? є група Х (р "). Для коследа А маємо

    - = Rpl® ... ®Rpl®Бo® V / Kв (A).

    Можна проаналізувати будову фактор-групи V / KB (У) в залежності від будови сліду? Не заглиблюючись у деталі, звернемо увагу лише на кілька основних моментів. Якщо? - кінцева група, то - = Rp® |||®RPk® V / Kв (V), де V / Kв (V) - обмежена група. У разі, коли в? присутня група Q, маємо

    - = К®-® ^ к®Б0) ® та V),

    де V / KB (V) = 0, або V / KB (V) - група без крутіння. Нарешті, якщо слід? містить групу Х (р "), то

    а = ^ © ... ® ^, ® та V),

    де У / KB (У) - скорочена група без крутіння, причому вона не ділиться на р. Дійсно, припустимо, що У / Kв (V) - р-делимая група. Позначивши R = RPl © ... © Rpk, знайдемо, що Е (А) -модуль А / R НЕ імеет1 крутіння і не ділиться на р як група. Так само як в лемах 4 і 5 можна показати, що не є - Артинова правий Е (А) -модуль

    Іош (А / R, Z ^ ")), чого не може бути.

    Звернувшись до сліду?, На підставі наявної у нас інформації можна записати В = В © Е®Ж, де /

    - кінцева група, Е - делимая група кінцевого рангу, а Іош (А, Ж) = 0. Деяких з доданків Д Е, Жможет не бути. Для сліду? отримуємо? =? [т] ®Е для якогось теИ. Подальшим -оіском більш точних співвідношень між коследом А і слідом? ми займати не будемо. Зазначимо тільки, що відкритий таке питання. Чи може слід? містити групи Х (р ") і Про?

    З теорем 3 і 4 легко випливає відома теорема 111.3 з книги [3].

    Теорема. Кільце ендоморфізм Е (А) групи А є Артинова зліва (або справа) тоді і тільки тоді, коли А = В®Б, де В - кінцева група, а Б

    - делимая група без крутіння кінцевого рангу.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Крилов П.А., Подберезіна Є.І. Група Іош1 (А, В) як Артинов

    Е (В) -модуль // Абелеві групи і модулі. - Томськ: Вид-во

    Том. ун-ту, 1996. - Вип. 13-14. - С. 170-184.

    2. Подберезіна Є.І. Про Артинова Е (А)-модуля Іош1 (А, В) //

    Абелеві групи і модулі. - Томськ: Вид-во Том. ун-ту, 1996.. -

    Вип. 13-14. - С. 190-199.

    Відзначимо, що теорема 2 в частині ендоартіново-сті відповідає випадку Е (В)-модуля Іош (ДВ) в теоремі 3. Теорема 4 а також результати замітки [4] викликають таке питання. Для яких груп без крутіння А Е (А) -модулем Іош (А, Q), Іош (А, Хр)) і Іош (А, Х (р ")) є: непріводімимі, Артинов-вимі, ​​нетеровим?

    Наведемо кілька наслідків теореми 4. Слідство 8. Нехай А - довільна, В - скорочена групи. Е (А) -модуль Іош (А, В) арти-нів тоді і тільки тоді, коли слід? є кінцева група; для кожного р, пов'язаний із командою В, скорочена р-компонента групи А обмежена; Е (А) -модуль Іош (А / Т, Хр)) Артинов для всякого р, що відноситься до сліду ?.

    Слідство 9. Якщо А і В - періодичні групи, то Е (А) -модуль Іош (А, В) Артинов в тому і тільки в тому випадку, коли слід? - кінцева група і для кожного р, пов'язаний із командою В, скорочена р-компонента групи А обмежена.

    Слідство 10. Нехай А і В - подільні групи. Е (А) -модем-ь Іош (А, В) Артинов тоді і тільки тоді, коли А і? - подільні групи без кручення і ранг групи? кінцевий.

    З теорем 3 і 4 можна вивести умови одночасної Артинова Е (А)-модуля і Е (В) -модем-ля Іош (А, В).

    Слідство 11. Нехай А - довільна, В - скорочена групи. Група Іош (А, В) є Артинова Е (А) -модулем і одночасно Артинова Е (В) -модулем тоді і тільки тоді, коли слід? кінцева група; для будь-якого р, що відноситься до сліду?, скорочена р-компонента групи В обмежена; для кожного р, пов'язаний із командою В, ре - дуцірованная р-компонента групи А обмежена; А = Н® О, де Н-кінцева група, О - скорочена група без крутіння і для будь-якого р, що відноситься до сліду?, Гр (О)<"; Е (А) -модуль Іош (А / Т, Хр)) Артинов для кожного р, що відноситься до сліду? Слідство 12. Нехай А і В - періодичні групи. Група Іош (А, В) є Артинова Е (А) -модулем і одночасно Артинова Е (В) -модулем тоді і тільки тоді, коли групи А і? кінцеві; для кожного р, пов'язаний із командою?, скорочена р-компонента групи В обмежена; для будь-якого р, пов'язаний із командою В, скорочена р-компонента групи А обмежена.

    Слідство 13. Нехай А і В - подільні групи. Група Іош (А, В) є Артинова Е (А) -модем-лем і Артинова-Е (В) -модулем тоді і тільки тоді, коли групи А і? є ділимими групами без крутіння кінцевого рангу.

    3. Фукс Л. Нескінченні абелеві групи. - М .: Світ, 1977. - Т. 2. - 416 с.

    4. Крилов П.А., Подберезіна Є.І. Будова змішаних абелевих груп з нетерових кільцями ендоморфізм // Абелеві групи і модулі. - Томськ: Вид-во Том. ун-ту, 1994. -Вип. 11-12. - С. 121-129.


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити