The growth of individual grains of a solid phase during cooling liquid melt has been studied. During cooling, the compositions of the liquid and solid phases and the equilibrium conditions change. Therefore, each subsequent layer, "freezing" on the grain, will have a slightly different composition. This paper proposes a method for calculating the structure of the grain changes with increasing distance from the center. Corresponding mathematical model has been created. It is based on the following assumptions. Growing grains are considered as spherical. The temperature alignment in the system and the composition alignment in the liquid phase occur instantly. The alignment of the solid phase composition does not occur. Also, it is assumed that local equilibrium of the liquid phase with the solid phase on the grain surface is observed at any temperature. The characteristics of this local equilibrium can be found out from the corresponding equilibrium state diagram. The balance equation of phase masses and masses of their components at infinitesimal temperature decrease was made. It was assumed that the local equilibrium of the liquid phase and the infinitely thin layer of the solid phase, formed during this decrease in temperature, is observed. Taking to the limits, we have obtained a differential equation describing the investigated process. The solution of this equation has been obtained in the form of the solid phase mass as an integral function of the temperature. The grain composition depending on the distance from its center is obtained in the form of parametric functions expressing the radius of the current grain point and its composition at this point depending on the temperature. A computer program for the calculation of the mathematical model equations have been created. To use the model, it is needed to know the composition of the initial melt, the average density of the solid phase and the equations of the liquidus and solidus lines in the form of functions of concentration vs the temperature. An example of the calculation is presented.

## МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЗМІНИ СКЛАДУ ЗЕРНА при охолодженні двокомпонентних РОЗПЛАВУ

Розглядається зростання окремих зерен твердої фази при охолодженні рідкого розплаву. У міру охолодження змінюються склади рідкої і твердої фаз і умови рівноваги. Тому кожен наступний шар, «намерзає» на зерно, матиме дещо інший склад. У даній роботі запропоновано метод розрахунку зміни складу зерна в міру віддалення від його центру. Для цього розроблена математична модель, що базується на наступних припущеннях: зростаюче зерно вважається сферичним; вирівнювання температури в системі і вирівнювання складу рідкої фази відбуваються моментально; вирівнювання складу твердої фази не відбувається. При цьому вважали, що при будь-якій температурі дотримується локальне рівновагу рідкої фази і поверхневого шару твердої фази. Характеристики цього локального рівноваги можуть бути визначені з відповідною рівноважної діаграми стану. Було складено рівняння балансу мас фаз і мас їх компонентів при нескінченно малому зниженні температури. Вважали, що при цьому дотримується локальне рівновагу рідкої фази і нескінченно тонкого шару твердої фази, що виділився при цьому зниженні температури. Переходячи до меж, отримали диференціальне рівняння, що описує досліджуваний процес. Рішення цього рівняння було отримано у вигляді інтегральної функції маси затверділого сплаву від температури. Так як маса затверділого сплаву при наших припущеннях однозначно пов'язана з його масою, рішення всієї задачі визначення складу зерна в залежності від відстані до його центру було отримано у вигляді параметричної функції, що виражає радіус поточної точки зерна і його склад у цій точці через температуру. Складено комп'ютерна програма розрахунку за рівняннями математичної моделі. Для використання моделі потрібно знати склад вихідного розплаву, середню щільність твердої фази і рівняння ліній ліквідусу і солідусу у вигляді функцій складу від температури. Представлений приклад розрахунку.

Область наук:

• хімічні науки

• Рік видавництва: 2019

Журнал: Вісник Південно-Уральського державного університету. Серія: Металургія

## Текст наукової роботи на тему «A mathematical model of Changes in the composition of grains during cooling a two-component melt»

?DOI: 10.14529 / met190107

A MATHEMATICAL MODEL OF CHANGES IN THE COMPOSITION OF GRAINS DURING COOLING A TWO-COMPONENT MELT

A.D. Drozin, Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.,

S.N. Naiman, Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.,

N.E. Kochetov, Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.,

A.V. Vorobyov, Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.,

I.A. Moiseev, Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation

The growth of individual grains of a solid phase during cooling liquid melt has been studied. During cooling, the compositions of the liquid and solid phases and the equilibrium conditions change. Therefore, each subsequent layer, "freezing" on the grain, will have a slightly different composition. This paper proposes a method for calculating the structure of the grain changes with increasing distance from the center. Corresponding mathematical model has been created. It is based on the following assumptions. Growing grains are considered as spherical. The temperature alignment in the system and the composition alignment in the liquid phase occur instantly. The alignment of the solid phase composition does not occur. Also, it is assumed that local equilibrium of the liquid phase with the solid phase on the grain surface is observed at any temperature. The characteristics of this local equilibrium can be found out from the corresponding equilibrium state diagram. The balance equation of phase masses and masses of their components at infinitesimal temperature decrease was made. It was assumed that the local equilibrium of the liquid phase and the infinitely thin layer of the solid phase, formed during this decrease in temperature, is observed. Taking to the limits, we have obtained a differential equation describing the investigated process. The solution of this equation has been obtained in the form of the solid phase mass as an integral function of the temperature. The grain composition depending on the distance from its center is obtained in the form of parametric functions expressing the radius of the current grain point and its composition at this point depending on the temperature. A computer program for the calculation of the mathematical model equations have been created. To use the model, it is needed to know the composition of the initial melt, the average density of the solid phase and the equations of the liquidus and solidus lines in the form of functions of concentration vs the temperature. An example of the calculation is presented.

Keywords: mathematical model, physical metallurgy, state diagram, liquation.

Introduction

Taking into account the influence of liquation in the crystallization of metal is a longstanding problem of metallurgy [1-7]. One of the approaches to its study is the creation of an adequate mathematical model that takes into account the main factors affecting the process under study [8-10].

Consider the growth of a separate grain during cooling of a multicomponent melt, namely, changing its size and composition. State diagrams show how the equilibrium compositions of the liquid and solid phases change when the melt is cooled. However, such an equilibrium cooling can be achieved only if the phase composition and temperature have time to align with any decrease in temperature. This is only possible in two cases: the temperature decreases infinitely slow or have infinitely large thermal

conductivity and diffusion coefficients of each phase.

Therefore, only a local equilibrium observed at short distances from the phase boundary can be performed. During cooling of the melt from the temperature T to T + AT (AT < 0), a thin layer of the solid phase freezing (from the surrounding liquid phase) on the grain, will be in equilibrium corresponding to the new temperature composition. With the subsequent decrease in the temperature to T + 2AT, a new layer of a new composition corresponding to this new temperature will appear on the grain. With subsequent temperature decreases, the grain will be overgrown with new layers, which compositions correspond to the new temperatures, as shown in Fig. 1. In fact, we will not even deal with separate layers, but with a continuous change in composition as we go away from the grain center.

Fig. 1. Changes in grain composition as it grows

The purpose of this work was to create a model that allows calculation of the change in the composition of the grain as it goes away from its center.

1. Basic assumptions

The growth of individual grains, which are considered to be spherical is studied Accepted that:

1) the temperature alignment in all phases (liquid and solid) is instantaneous;

2) the composition alignment in the liquid phase is instantaneous;

3) the alignment of the solid phase composition does not occur.

2. Derivation of basic equations

Consider the model state diagram (Fig. 2).

Consider a melt A-B with the mass M0 and the fraction of the component B equaled c0. Let the system has been cooled to a temperature T. Let the mass of the solid phase be MS (T) and the number of identical grains in it be N. Let the mass of the liquid phase be ML (T), and

the fraction of the component B in it be cL (T).

Let the system now be further cooled to a temperature T + AT (AT < 0). In this case, the new

part of the solid phase with a mass AMs and

the composition cs (T), where T + AT <f<T,

will be formed. Then the mass of the liquid phase will become ML (T + AT) = ML (T) -AMS. Its

composition will be cL (T + AT).

Let's make the balance equation of the component B at the temperature T + AT:

AMscs (f) + (ML (T) -AMs) cL (T + AT) =

= ML (T) Cl (T) and obtain

, .Cj (T + AT) - Cj (T)

AM, = M, (T) ^ - H ^ f.

S} cL {T + AT) -cs (T)

Divide this equality by AT:

AMo

= ML (T)-

1

AT ^; cL (T + AT) -cs (T)

cl (T + AT) -Cl (T)

AT '

Let's go to the limits as AT 0. Taking into account that if AT 0 then 7 ^ '/'. \\ c get

dMQ

= Ml (T)

1

dcr

dT

In this case

cL (T) - cs (T) dT •

-L = cr and

dT L

1

cl (T) - cs (T) are known values, from equilibrium state diagram.

Because of ML (T) = M0 -Ms (T) then

dMs ~ dT

= (Mo -Ms (T))

cl (T) - cs (T) •

Having solved this differential equation we have obtained

fir, W

Ms = Mo

1 - exp

i

cl (T) - cs (T)

dT

Fig. 2. Model state diagram

J J

c

We have obtained the dependence of the the crystallized metal mass on the temperature. Assuming that the solid phase has the shape of a sphere of radius R and density p, we obtain the ratio

MS = 4% R3pN from which follows R (T) =

3MS (T) 4% pN

l

or

R (T) =

3Mn

4 ^ pN

1 - exp

"J

cs (T) - cL (T)

dT

J J J

Thus, for any T we can calculate the grain radius by this formula, and by the state diagram determine the composition of the corresponding layer. We now have the defined parametrically function

. (R) using the parameter T:

R (T) = С (t).

3Mn

4% pN

1 - exp

J

V TL

cS (T) - Cl (T)

dT

(1)

J J)

3. The calculation algorithm

To calculate, we should know the initial composition of the melt c0, the initial melt mass M0, the density of the solid phase p, the state diagram of the system (the equations of the diagram lines in the form of cL (T), cS (T)).

1. Let's find the the liquidus temperature TL and the solidus temperature TS.

2. Let's divide the interval [TS; TL] into equal parts by points T1, T2, ..., Tn_x, where T0 = TS, Tn = TL.

3. For the each point, calculate R (T), cS (T) by the formula (1).

4. Get a table of the values ​​R (T), cS (T), on which we build a graph of the dependence cS (R). According to the above algorithm, a computer program was written in VBA Excel.

4. Calculation example

Consider a cooling of the tin-bismuth alloy (mas. 30% Bi)). Let's use the Sn-Bi state diagram [11] (Fig. 3).

V

Sn mole% Bi Bi

Fig. 3. Sn-Bi phase diagram

The selected composition corresponds to mole 19.576%., That is, between the points ESn and E. Thus, for the calculation we will need the equations of the liquidus ASnA1E and solidus ASnA2ESn lines in the form of c = ^ (T). To do this, we took these dependencies parabolic, found the coordinates of the points ASn, A1, E, ESn, A1, A2 on the state diagram, and transferred the concentrations into mass fractions. Further, by the points ASn, A1, E the equation of the liquidus line has been determined and by the points ASn, A2, ESn the equation of the solidus line has been determined. We have obtained

ASnA1E: c = -5,7 -10 "5 T2 +1,4883 • 10" 2 T - 0,403 84;

ASnA2ESn: c = 2,25 -10 "6 T2 - 3,18 • 10-3 T + 0,616724.

The calculation results are shown in Fig. 4-6. To ensure that they do not depend on arbitrarily specified values: the melt mass and the number of grains, some of the results are presented in a normalized form. So the current radius of the grain is presented in the form of its ratio to the maximum radius reached by the time of solidification of the entire melt.

In Fig. 4 the data on the the final composition of the grain are presented. Inconstancy of the grain composition is clearly visible. The alignment of the composition can occur only after a fairly long period of time.

g_i_i_i_i_i_i_i_i_i_

O 0.1 02 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.6 0.9 1

Fig. 4. The composition of the grain phase as a function of the distance to the grain center

Fig. 5, 6 show a comparison of the obtained results with the data that would be obtained directly from the equilibrium state diagrams, which would be realized if the cooling was infinitely slow (or if the diffusion and the thermal conductivity coefficients of both phases were infinitely large ).

From Fig. 5 it can be seen that if diffusion in the solid phase is absent, the mass of the crystallized metal is less than it follows from the equilibrium state diagram. When the supercooling is 60.0794 (the temperature drops out to 139 ° C), the eutectic precipitates and the "equilibrium" curve rises to 100%. What happens to previously formed growing grains is not considered in this paper.

Fig. 5. The fraction of the solid phase as a function of the corresponding supercooling (dotted line - the "equilibrium" case)

Fig. 6. The average composition of the solid phase in the absence of diffusion in solid phase (solid line) and in accordance with the equilibrium state diagram (dotted line)

Conclusions

The paper considers the limiting (not quite real) case of cooling of a two-component system in the case when the alignment of the solid phase composition does not occur is considered. In this case, there are a number of significant differ-

ences from the usual conclusions resulting from the equilibrium state diagram.

• At any supercooling, the mass of the solid phase is less than it follows from the equilibrium state diagram.

• At any supercooling the total fraction of

the dissolved substance in a solid phase is less than it follows from the equilibrium state diagram.

• The solidus temperature of a melt is decreases.

References

1. Roshchin V.E, Roshchin A.V. Elektro-metallurgiya i metallurgiya stali [Electrometallurgy and Metallurgy of Steel]. Chelyabinsk, South Ural St. Univ. Publ., 2013. 571 p.

2. Kushner V.S., Vereshchaka A.S., Skhirt-lazdze A.G., Negrov D.A., Burgonova O.Yu. Materialovedenie [Materials Technology]. Omsk, OGTU, 2008. 232 p.

3. Rabinovich S.V., Chermenskij V.I., Ogo-rodnikova O.M., Harchuk M.D. [Mathematical Modeling of Nickel Dendritic Liquation in Casting Invar and Superinvar Alloys]. Litejnoe proizvod-stvo [Foundry], 2002 no. 6, pp. 9-12. (In Russ.)

4. Zhukova S.Yu. Distribution of Chemical Elements in Dendrites and Inter-Dendritic Areas of Cast Metal. Metallurgist 2009, vol. 53, iss. 1-2, pp. 32-37. DOI: 10.1007 / s11015-009-9133-4

5. Martyushev N.V. [Effect of Crystallization Conditions on the Structure and Properties of Lead-Containing Bronzes]. Metallurgiya mashi-nostroeniya [Metallurgy of Mechanical Engineering] 2010, no. 4, pp. 32-36. (In Russ.)

6. Koltygin A.V., Belov V.D., Bazhenov V.E. Effect of the Specific Features of Solidification

of an ML10 Magnesium Alloy on the Zirconium Segregation during Melting. Russian Metallurgy (Metally), 2013, vol. 2013, iss. 1, pp. 66-70. DOI: 10.1134 / S0036029513010060

7. Kondratyuk S.E., Stoyanova E.N., Plyah-tur A.A., Parhomchuk Zg.V. [Structure and Segregation of Steel R6M5L Depending on the Crystallization Conditions]. Metallurgiya mashino-stroeniya [Metallurgy of Mechanical Engineering], 2014 року, no. 1, pp. 23-25. (In Russ.)

8. Gamov P.A., Drozin A.D., Dudorov M.V., Roshchin V.E. Model for Nanocrystal Growth in an Amorphous Alloy. Russian Metallurgy (Metally) 2012, no. 11, pp. 1002-1005. DOI: 10.1134 / S0036029512110055

9. Drozin A.D., Roshchin V.E. [Thermodynamics of Nucleation of Heterophase Chemical Reactions Products in Liquid Solutions]. Bulletin of South Ural State University. Mathematics, Physics, Chemistry, 2002 vol. 16, no. 4, pp. 54-66. (In Russ.)

10. Drozin A.D., Dudorov M.V., Roshchin V.E., Gamov P.A., Menihes L.D. [Mathematical Model of Crystal Nuclei Formation in Supercooled Melt of Eutectic Composition]. Bulletin of South Ural State University. Mathematics, Physics, Chemistry 2012, no. 6, pp. 66-77. (In Russ.)

11. Lyakishev N.P. Diagrammy sostoyaniya dvojnyh metallicheskih sistem [State Diagrams of Double Metal Systems]. Moscow, Mashinostroe-nie Publ., 1996. 996 p.

УДК 669.017 + 51 -74 DOI: 10.14529 ^ М 90107

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЗМІНИ СКЛАДУ ЗЕРНА при охолодженні двокомпонентних РОЗПЛАВУ

А.Д. Дрозін, С.Р. Найман, Н.Є. Кочетов, А.В. Воробйов, І.А. Моїсеєв

Південно-Уральський державний університет, м Челябінськ, Росія

Розглядається зростання окремих зерен твердої фази при охолодженні рідкого розплаву. У міру охолодження змінюються склади рідкої і твердої фаз і умови рівноваги. Тому кожен наступний шар, «намерзає» на зерно, матиме дещо інший склад. У даній роботі запропоновано метод розрахунку зміни складу зерна в міру віддалення від його центру. Для цього розроблено математичну модель, що базується на наступних припущеннях: зростаюче зерно вважається сферичним; вирівнювання температури в системі і вирівнювання складу рідкої фази відбуваються моментально; вирівнювання складу твердої фази не відбувається. При цьому вважали, що при будь-якій температурі дотримується локальне

рівновагу рідкої фази і поверхневого шару твердої фази. Характеристики цього локального рівноваги можуть бути визначені з відповідною рівноважної діаграми стану. Було складено рівняння балансу мас фаз і мас їх компонентів при нескінченно малому зниженні температури. Вважали, що при цьому дотримується локальне рівновагу рідкої фази і нескінченно тонкого шару твердої фази, що виділився при цьому зниженні температури. Переходячи до меж, отримали диференціальне рівняння, що описує досліджуваний процес. Рішення цього рівняння було отримано у вигляді інтегральної функції маси затверділого сплаву від температури. Так як маса затверділого сплаву при наших припущеннях однозначно пов'язана з його масою, рішення всієї задачі - визначення складу зерна в залежності від відстані до його центру - було отримано у вигляді параметричної функції, що виражає радіус поточної точки зерна і його склад у цій точці через температуру. Складено комп'ютерна програма розрахунку за рівняннями математичної моделі. Для використання моделі потрібно знати склад вихідного розплаву, середню щільність твердої фази і рівняння ліній ліквідусу і солідусу у вигляді функцій складу від температури. Представлений приклад розрахунку.

Ключові слова: математична модель, металознавство, діаграма стану, ізоляція.

література

1. Рощин, В.Є. Електрометалургія і металургія стали / В.Є. Рощин, А.В. Рощин. - Челябінськ, ЮУрГУ, 2013. - 571 с.

2. Матеріалознавство: навч. для студентів вузів / В.С. Кушнер, А.С. Верещака. А.Г. Схірт-ладзе і ін .; під ред. В.С. Кушнера. - Омськ: Изд-во ОмГТУ, 2008. - 232 с.

3. Математичне моделювання дендритних ліквації нікелю в ливарних інварних і суперінварних сплавах / С.В. Рабинович, В.І. Черменський, О.М. Огороднікова, М.Д. Харчук // Ливарне виробництво. - 2002. - № 6. - P. 9-12.

4. Жукова, С.Ю. Розподіл хімічних елементів в дендритах і междендрітних ділянках литого металу / С.Ю. Жукова // Металург. - 2009. - № 1. - С. 46-49.

5. Мартюшев, Н.В. Вплив умов кристалізації на структуру та властивості бронз, що містять свинець /Н.В. Мартюшев // Металургія машинобудування. - 2010. - № 4 - С. 32-36.

6. Колтигін, А.В. Вплив особливостей кристалізації магнієвого сплаву МЛ10 на ликвацию цирконію в процесі плавки / А.В. Колтигін, В.Д. Бєлов, В.Є. Баженов // Метали. - 2013. -№ 1. - С. 78-83. DOI: 10.1134 / S0036029513010060

7. Структура і сегрегація стали Р6М5Л в залежності від умов кристалізації / С.Є. Кондратюк, Е.Н. Стоянова, А.А. Пляхтур, З.В. Пархомчук // Металургія машинобудування. - 2014. - № 1. - С. 23-25.

8. Model for Nanocrystal Growth in an Amorphous Alloy / P.A. Gamov, A.D. Drozin, M. V. Du-dorov, V.E. Roshchin // Russian Metallurgy (Metally). - 2012. - No. 11. - P. 1002-1005. DOI: 10.1134 / S0036029512110055

9. Дрозін, А.Д. Термодинаміка утворення зародків продуктів гетерофазних хімічних реакцій в рідких розчинах / А.Д. Дрозін, В.Є. Рощин // Вісник ЮУрГУ. Серія «Математика, фізика, хімія». - 2002. - Т. 16, № 4. - С. 54-66.

10. Математична модель освіти кристалічних зародків в переохолодженому розплаві евтектичного складу / А.Д. Дрозін, М.В. Дудоров, В.Є. Рощин та ін. // Вісник ЮУрГУ. Серія «Математика, фізика, хімія». - 2012. - № 6. - С. 66-77.

11. Лякишев, Н.П. Діаграми стану подвійних металевих систем / Н.П. Лякишев. -М. : Машинобудування, 1996. - 996 с.

Дрозін Олександр Дмитрович, д-р техн. наук, професор, директор Центру елітного освіти, Південно-Уральський державний університет, м Челябінськ; Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

Найман Софія Романівна, студент групи Е-2 елітного освіти Політехнічного інституту, Південно-Уральський державний університет, м Челябінськ; Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

Кочетов Микита Євгенович, студент групи Е-2 елітного освіти Політехнічного інституту, Південно-Уральський державний університет, м Челябінськ; шкйакосЬе1; оу98 @ mail.ru.

Воробйов Артем Володимирович, студент групи Е-2 елітного освіти Політехнічного інституту, Південно-Уральський державний університет, м Челябінськ; АГ; етуогоЬуеу1999 @ mail.ru.

Моїсеєв Ігор Олексійович, студент групи Е-2 елітного освіти Політехнічного інституту, Південно-Уральський державний університет, м Челябінськ; moiseevigor.99 @ mail.ru.

Надійшла до редакції 17 січня 2019 р.

ЗРАЗОК ЦИТУВАННЯ

FOR CITATION

A Mathematical Model of Changes in the Composition of Grains during Cooling a Two-Component Melt / A.D. Drozin, S.N. Naiman, N.E. Kochetov et al. // Вісник ЮУрГУ. Серія «Металургія». - 2019. - Т. 19, № 1. - С. 59-66. DOI: 10.14529 / met190107

Drozin A.D., Naiman S.N., Kochetov N.E., Vorobyov A.V., Moiseev I.A. A Mathematical Model of Changes in the Composition of Grains during Cooling a Two-Component Melt. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Metallurgy, 2019, vol. 19, no. 1, pp. 59-66. DOI: 10.14529 / met190107

Ключові слова: MATHEMATICAL MODEL /PHYSICAL METALLURGY /STATE DIAGRAM /LIQUATION /МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ /МЕТАЛОЗНАВСТВО /ДІАГРАМА СТАНУ /ізоляція

Завантажити оригінал статті: